Máthema - Matematika



 IZ VSEBINE:

  • Máthema
  • Pons asinorum
  • Kraljica znanosti in sestra umetnosti
  • Zlati rez
  • Spira mirabilis
  • Fraktalnost v naravi
  • Ukrivljenost prostora
  • Zavozlana DNA
  • Je estetika pomembnejša od logike?
  • Uporabnost matematike
  • Študij matematike
  • Matematika in družba
  • Razvoj matematične misli
  • Kraljevska pot
  • Opombe iz življenja nekaterih znanih ljudi
  • Viri
  • Nesmrtnost
    Nesmrtnost (John Robinson)

     


     

    Máthema

     

    Beseda matematika izvira iz grške besede máthema, ki pomeni kar se naučiš, učenje, znanost. V tej obliki besedo prvič uporabi Platon (380 pr. Kr.), verjetno pa že prej Pitagorejci (540 pr. Kr.). Grški mantháno pomeni učim se. Beseda izvira iz indoevropskega korena mendh, ki pomeni vzbuditi razumsko zanimanje. Ima številne izpeljanke v mnogih jezikih. V angleščini mind pomeni razum, mišljenje, v nemščini munter pomeni buden, živahen, vesel, natančen, ognjevit, v staroslovanščini modru pomeni moder, v sanskrtu man pomeni misliti, v latinščini mens pomeni razum, mišljenje, v grščini mántis pomeni jasnovidec, prerok. Verjetno imajo isti izvor tudi grške muze in Prometej.

    Grške muze mousa (latinsko musa) so sestre boginje (najpogosteje omenjene kot devet Zeusovih hčera), ki imajo v grški mitologiji skrivnostno vlogo. So predvsem zavetnice pesnikov in umetnosti. Od tod izvira tudi beseda muzej (mouseion – hiša muz). Vsaka muza ima svojo vlogo, Uranija je muza astronomije, Klio muza zgodovine, Evterpe muza glasbe, …. Beseda mousa je v angleščini dala na primer izraz muse, ki pomeni abstraktno zamaknjenost, premišljevanje.

    Grški bog ognja Prometej je znan po izjemnih intelektualnih sposobnostih. Prelisičil je samega Zeusa, mu ukradel ogenj ter ga prinesel na zemljo. V drami Uklenjeni Prometej grški dramatik Ajshil opisuje Prometeja ne le kot boga, ki je človeku preskrbel ogenj in civilizacijo, ampak kot nekoga, ki s svojo inteligenco zagotavlja tudi njuno ohranjanje. Prometej je človeku posredoval vse umetnosti ter znanosti in tako tudi možnost preživetja. Dobesedni prevod imena Prometej bi pomenil ‘Prvi mislec’.

     

     


     

    Pons asinorum

     

    Oslovski most ali dobesedno most oslov je ime, ki se je ohranilo še iz starogrških časov. Pons asinorum je ime petega izreka Evklidovih elementov (300 pr. Kr.), ki pravi, da sta kota nasproti enakih stranic v enakokrakem trikotniku enaka. Tako ime najbrž izhaja iz Evklidove skice k dokazu tega izreka, ki spominja na most, in s stališča, da je bedak, kdor tega izreka ne more razumeti. V srednjeveških šolah so izrek pogosto uporabljali kot merilo topoglavosti. Smatrali so ga za ozek most od prvih štirih zelo nazornih Evklidovih izrekov do začetka prave geometrije, s katerega nerodne glave štirinožne inteligence popadajo in tako s svojo omejenostjo ne ogrožajo elite. Pons asinorum se je ohranil kot sinonim za sito, ki pokaže sposobne in izloči nesposobne.

    Čeprav malokdo pozna peti Evklidov izrek, je nehvaležna srednjeveška vloga pontis asinorum v marsičem ostala matematiki kot šolskemu predmetu. Nihče ne trdi, da je matematika nujna za obstoj ali dobrobit posameznika, a gotovo je res, da so sposobnosti, ki jih razvija in zahteva, neobhodne za napredek družbe ter sestavni del vsestransko sposobnega in razgledanega človeka.

    Matematika kot znanost za genije in kot pokazatelj osnovnih sposobnosti dojemanja je v različnem obsegu nujna za uspešno delo na vseh področjih. Pogosto pozabljamo na matematiko kot na orodje razvijanja sposobnosti in vse prevečkrat matematika igra vlogo nekakšnega merilca (slabo definiranih) sposobnosti. Njena vloga pri vzgoji in razvijanju doslednega in analitičnega razmišljanja je nepogrešljiva. Čeprav ne pove nič o dostojanstvu človeka, lahko pove veliko o njegovih sposobnostih.

    Leta 1936 je v Ljubljani izšla knjiga znanega profesorja, inženirja elektrotehnike in doslej najuspešnejšega slovenskega šahista Milana Vidmarja z naslovom Oslovski most.

    Leonardo da Vinci je zapisal: Naj nihče, ki ne razume matematike, ne bere teh besed! Če naj jih ne bere, jih lahko piše?

    Menda je opozorilo Leonarda da Vincija, naj nihče, ki ne razume matematike, ne bere njegovega teksta, merilo na pojem projektivne ravnine, ki je nastal ob študiju perspektive renesančnih slikarjev in matematikov. Pri obravnavanju vzporednih premic se je izkazal kot zelo koristen pojem “premice v neskončnosti”, na kateri se “vzporedne premice sekajo”. Študij geometrije, ki privzame “premice v neskončnosti”, je postal znan pod imenom projektivna geometrija zaradi svoje uporabnosti pri analizi projekcij.

     

     


     

    Kraljica znanosti in sestra umetnosti

     

    Matematika je tako znanost kot univerzalni logični jezik narave. Kot jezik jo uporabljamo za zapis zakonov vesolja z matematičnimi izrazi in modeli. Galileo Galilei je že pred več kot tristo leti zapisal, da “so zakoni narave zapisani v jeziku matematike”.

    V svojem bistvu je matematika preprosta in lepa. Njena preprostost izhaja iz elementarnosti njenih izhodišč, ki so maloštevilna in tudi človeškemu umu izjemno nazorna, ter iz preprostih zakonov logike, ki predstavljajo absolutna in človeku dojemljiva dejstva resnice. Iz teh osnovnih gradnikov je sestavljena čudovito zapletena zgradba matematičnih resnic, ki najceloviteje opisuje sicer majhen, a razumsko verjetno edino zanesljiv "človeški zemljevid kozmosa".

    Vse oblike lepote temeljijo na urejenosti in matematika je svet skorajda popolne urejenosti. Zapletena enostavnost matematičnega sveta idej je v marsičem podobna vesolju. Le-to, čeprav zgrajeno iz nekaj elementarnih pradelcev ob upoštevanju (še ne povsem znanih) osnovnih zakonov, predstavlja najčudovitejšo, najzapletenejšo in obenem najenostavnejšo stvaritev.

    Matematika vodi tako v izpopolnitev znanosti in tehnologije kot k dojemanju resnic o vesolju, času, prostoru in bivanju nasploh. Urejenost in zanesljivost matematičnih misli izpričujeta najglobljo lepoto sveta in s človeškimi čuti dojemljivo resnico. Zato ni čudno, da so bili največji tvorci današnjega pogleda na svet in filozofi prav matematiki, vse od Platona, Arhimeda, Descartesa, Newtona do Russla in von Neumanna.

     

     


     

    Zlati rez

     

    Mnoge lepote narave izpričujejo matematično urejenost in izjemno logičnost našega sveta.

    Ni naključje, da so semena sončnice razporejena v 34 spiralnih krivulj v smeri urinega kazalca in v 21 spiralnih krivulj v obratni smeri, da ima kalužnica 5 cvetnih listov, da so luske na olupku ananasa razporejene v 8 "diagonal" v eni in 13 v drugi smeri, da imajo marjetice in krizanteme običajno 34, 55 ali 89 cvetnih listov. Naravni zakon teh razporeditev je mogoče pregledno zapisati in razložiti v matematičnem jeziku. Narava se je pri optimizaciji rasti in izrabe prostora že pred milijoni let obnašala varčno - po zakonih, ki jih je človeški um odkril in zapisal v matematičnem jeziku šele pred nekaj stoletji, dokončno pa jih še vedno ne razume.

                

    Sončnica in matematični model razporeditve semen v cvetu sončnice

    Dandanes vemo, da doseže narava optimalno razporeditev semen z rastjo, ki je v tesni povezavi z zlatim rezom in zaporedjem Fibonaccijevih števil (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …). Zaporedje je konstruirano zelo preprosto, vsak člen (razen na začetku) je vsota prejšnjih dveh.

    Prvi je uporabil in zapisal to zaporedje Fibonacci leta 1202 ob študiju rasti populacije zajcev. Glede na opazovanje rasti, na primer sončničnega cveta, vemo, da se zarodki semen rojevajo v sredini, z zorenjem se pa premikajo proti robu, medtem ko v sredini nastajajo novi. Študij optimalne razporeditve semen sončnice pokaže, da je mesto rojstva novega semena zamaknjeno glede na prejšnje seme in da je zamik mogoče opisati z zlatim rezom ali zlatim razmerjem.

    Zlato razmerje je razmerje oziroma število, ki na prvi pogled ni nič posebnega. Enako je iracionalnemu številu:

    S tem številom in razmerjem se je ukvarjal že Eudoxus pred več kot 2000 leti, posebej so ga častili srednjeveški umetniki in matematiki in mu pripisovali božansko moč v razmerjih, ki pogojujejo lepoto. Zlato razmerje je razmerje stranic pravokotnika, ki mu po izrezu največjega kvadrata ostane pravokotnik z enakim razmerjem stranic. Ta proces se lahko nadaljuje v neskončnost. Pravokotnik s takimi razmerji se imenuje zlati pravokotnik.

     

     


     

    Spira mirabilis

     

    Z zlatim pravokotnikom in zlatim razmerjem je povezana logaritemska spirala, ki je pregledno predstavljena z zaporedjem kvadratov znotraj zlatega pravokotnika. Takó zlato razmerje kot Fibonaccijeva števila in logaritemska spirala pomagajo razložiti mnogo čudovitih razmerij in oblik v naravi.

    Logaritemska spirala ima lastnost, da vsaka ravna črta iz središča spirale seka spiralo pod istim kotom. Pojavlja se v mnogoterih oblikah od že omenjenih spiral v cvetu sončnice do školjk, polžjih hišic, rogov, čekanov, pajkovih mrež in oddaljenih spiralnih galaksij.

                             

    Spira mirabilis: zaporedje zlatih pravokotnikov, morski polž nautilus, Hubblov posnetek nekaj deset milijonov svetlobnih let oddaljene galaksije M100

    Veliki švicarski matematik Jakob Bernoulli je logaritemsko spiralo zaradi njenih številnih čudovitih lastnosti poimenoval spira mirabilis (lat. čudežna spirala). S svojo elegantno obliko je spira mirabilis od davnih časov navdihovala dekorativne motive. Leta 1914 je izšla knjiga Theodora Andrea Cooka The Curves of Life (Krivulje življenja) s 500 stranmi, ki je skoraj v celoti posvečena logaritemski spirali in njenim pojavnim oblikam v naravi.

    Bojda je celo Stradivarij uporabljal zlato razmerje oziroma logaritemsko spiralo pri izdelavi svojih slavnih violin.

     

     


     

    Fraktalnost v naravi

     

    Tako zlati pravokotnik kot logaritemska spirala nosita v sebi fraktalno vsebino, saj se oblikovno enak, a pomanjšan motiv ponavlja v neskončnost. Fraktalna vsebina zlatega števila je lepo izpričana tudi z mističnim zapisom:

    Skrivnostna povezava zlatega števila s Fibonaccijevimi števili se pokaže, če izračunamo približke:

    V števcih in imenovalcih namreč dobimo Fibonaccijeva števila. Fibonaccijeva števila dobimo iz zlatega števila tudi po formuli:

    Fraktalna geometrija temelji na ideji invariantnosti povečave, kar pomeni, da je opazovana slika enaka ne glede na to, pod kako močnim mikroskopom jo gledamo. Fraktalni motiv je sestavljen s ponavljanjem istega motiva v vse manjšem razmerju. Take same sebi podobne strukture najdemo marsikje v naravi, od lista praproti, cvetače, oblakov, pljuč, razdrobljenosti obale, razporeditve galaksij v vesolju, do statističnega gibanja cen delnic na borzah. Logično pravilo oziroma algoritem za oblikovanje fraktalnega motiva je izjemno preprosto. Nenazadnje so na podoben način v majhnih molekulah DNA zakodirani zakoni rasti in razvoja živih organizmov.

    S teorijo fraktalov je povezana tudi teorija kaosa, ki razlaga in opisuje naravne pojave od nastanka in oblik snežink, fluktuacije populacije bakterij in živalskih vrst, širjenja epidemij, izbruhov vulkanov, sprememb zemeljske klime, do nepravilnosti srčnega utripa ali srčnih infaktov. Teorija kaosa je matematična teorija, ki nekoliko filozofsko rečeno išče zakone urejenosti znotraj kaotičnega sistema in kaos znotraj urejenosti.

     

     


     

    Ukrivljenost prostora

     

    Strukturo, ki nas spominja na fraktalno, opazimo na primer v nekaterih Escherjevih grafikah. Z lesorezom Krožna limita III. je Escher vizualiziral hiperbolično ravnino, ki se sicer izmika predstavi. Lokalno je hiperbolično ravnino možno predstaviti kot sedlo, to je kot ploskev, ki ima v dveh pravokotnih si smereh nasprotno ukrivljenost. Fraktalna struktura Escherjeve grafike predstavlja mnogotere značilnosti neskončne hiperbolične ravnine na disku. Ukrivljene črte na grafiki predstavljajo ravne črte v prostoru, to je najkrajše poti med točkami. Vse manjša fraktalna oblika proti robu grafike sporoča razmerja, v katerih grafika predstavlja prostor. Vse manjše "ribe" proti robu ponazarjajo enako velike "ribe" v prostoru. Natančna umetniška in matematična razlaga Escherjeve grafike bi bila obsežna in mogoče nikoli končana.

    Escherjev lesorez Krožna limita III. - ilustracija hiperbolične ravnine

    Zakaj je predstava hiperbolične geometrije sploh zanimiva? Vesolje se vse od velikega poka pred približno petnajst milijardami let širi. In kakšna je njegova usoda? Od Einsteinovih odkritij naprej je znano, da usoda vesolja temelji na geometriji prostora in časa. Možnosti so tri: ali se bo vesolje širilo v neskončnost ali se bo še nekaj časa širilo, potem pa se začelo spet krčiti in končalo v zrcalni sliki svojega začetka, ali se bo po tretji različici, ki pomeni nekakšno srednjo pot, njegovo širjenje zaustavilo, vendar šele po neskončnem času. Te tri možne usode našega vesolja ustrezajo trem tipom tako imenovanih ukrivljenih geometrij.

    Einsteinova splošna teorija relativnosti, ki je nadgradila razumevanje Newtonove teorije gravitacije, opisuje silo gravitacije kot rezultat ukrivljenosti časa in prostora. Nazorna, čeprav pomanjkljiva, je na primer slika sonca, ki ukrivlja prostor okoli sebe, planeti pa krožijo okoli njega, ker sledijo tej ukrivljenosti – podobno kot bi se premikale frnikole v okrogli skledi. Poleg lokalne ukrivljenosti zaradi planetov, zvezd ali galaksij ima vesolje tudi globalno ukrivljenost. Predstava teh ukrivljenosti je zaradi naše omejenosti na tri dimenzije zelo okrnjena, a prav abstraktnost matematičnih idej pomaga ne samo pri oblikovanju, ampak tudi pri vizualizaciji modelov, ki skušajo razlagati razvoj vesolja.

    Najenostavnejši trije možni kozmološki modeli ustrezajo trem možnim ukrivljenostim našega vesolja: širjenje vesolja, ki se konča in obrne v krčenje, ustreza pozitivni ukrivljenosti ali eliptični geometriji, širjenje vesolja, ki se konča šele v neskončnem času, ustreza ničelni ukrivljenosti ali ravninski (evklidski) geometriji, širjenje vesolja, ki traja v neskončnost, pa ustreza negativni ukrivljenosti ali hiperbolični geometriji.

    Ni naključje, da so te tri vrste geometrije v tesni zvezi s tisočletnimi ubadanji s petim Evklidovim aksiomom o vzporednicah. Medtem ko so prvi štirje Evklidovi aksiomi očitni in izkustveno preverljivi, se peti temu kljub svoji nazorni vsebini izmika. Tega so se zavedali že matematiki vse od Evklida naprej in poskušali dilemo petega aksioma razrešiti tako, da bi ga dokazali iz ostalih in tako preoblikovali v izrek. Vsi poskusi so se ponesrečili in šele v devetnajstem stoletju je bila uganka petega Evklidovega aksioma razrešena. Težko je reči, kdo je najzaslužnejši za takrat nore ideje, ki so se pozneje izkazale za genialne in ki so jih lahko izoblikovali le ljudje z najglobljim intuitivnim in logičnim dojemanjem. Najpomembnejša imena so gotovo Gauss, Lobačevski, Bolyai in Riemann.

    Kako noro je bilo dvomiti, da skozi točko zunaj premice obstaja natanko ena vzporedna premica, nam pove izsek pisma, ki ga je Bolyaiju pisal njegov oče: "Za Božjo voljo, prenehaj s tem, kajti to je kot telesna strast, ki te lahko popolnoma zasvoji, ti vzame zdravje, zdravo pamet in srečo v življenju."

    Geometrija, ki namesto petega Evklidovega aksioma privzame, da skozi točko izven premice obstajata vsaj dve vzporedni premici, je postala znana pod imenom hiperbolična ali geometrija Lobačevskega. Geometrijo, ki namesto petega Evklidovega aksioma privzame, da skozi točko izven premice ne obstaja nobena vzporedna premica, poznamo pod imenom eliptična ali Riemannova geometrija. Prav te, takrat nore ideje, so pripeljale do možnosti spet novih genialnih idej o razvoju vesolja in razumevanju makro ter mikro sveta. Nedvomno brez teh briljantnih matematičnih idej ne bi bila možna revolucionarna odkritja v fiziki zgodnjega dvajsetega stoletja ali neverjetni tehnološki napredek, ki smo mu priča v zadnjih desetletjih.

     

     


     

    Zavozlana DNA

     

    Borromejevi kolobarji so dobili ime po vplivni italijanski družini iz 15. stoletja, ki je njihov motiv uporabila v svojem grbu. Motiv se pojavlja že pri Keltih (100 pr. Kr.) in Vikingih (1100 po Kr.). Borromejevi kolobarji temeljijo na treh prepletenih krogih, ki jih ni moč razkleniti in od katerih se nobena dva ne prepletata. Modela v prostoru ni moč narediti s tremi ravninskimi krogi, to je brez ukrivljanja. Zanimivo je, da se prostorski model da realizirati s tremi ravninskimi elipsami, kvadrati, trikotniki, ...

                             

    Boromejevi krogi in skandinavski kamniti motiv iz 9. stoletja, na katerih se pojavijo Boromejevi trikotniki

    Uporaba zank, vozlov in kit v umetnosti različnih kultur je brezštevilna. Umetnost zavezovanja, pletenja in vozlanja je poznana že v stari keltski umetnosti, nenazadnje jo poznamo tudi iz evropske in slovenske umetnosti čipkarstva.

                

    Kipa Boromejevih trikotnikov in kvadratov kiparja Johna Robinsona Intuicija in Stvarjenje

    Študij Borromejevim kolobarjem podobnih zank je v matematiki del teorije vozlov, ki analizira in klasificira vozle in zanke. Teorija vozlov je že dolgo izjemno uporabna v študiju termodinamike in atmosferskih gibanj našega planeta, v teoriji strun - veji moderne teoretične fizike - pa tudi v raziskavah osnovnih delcev živih organizmov - molekul DNA. Matematični biologi so pravilno napovedali, da ima delovanje posameznih encimov na molekule DNA za posledico zavozlavanje molekule DNA. Matematična teorija vozlov omogoča identifikacijo vozlov in s tem različnih tipov virusov, kar bistveno pripomore v boju proti njim.

     

                

    Stevardov vozel in molekula DNA zavozlana v Stevardov vozel

     


     

    Je estetika pomembnejša od logike?

     

    Aristotel o lepoti matematike pravi: Matematika še prav posebej izpostavlja urejenost, simetrijo in omejenost, to je največje atribute lepote.

    Estetska privlačnost matematike v opazovanjih in raziskavah je bila za mnoge odločilna. Francoski matematik Poincaré je trdil, da je za matematično ustvarjalnost estetika pomembnejša od logike. Angleški matematik Godfrey Harold Hardy (1877 - 1947) je napisal, da morajo biti vzorci matematika lepi, tako kot velja za slikarja ali pesnika. Veliki teoretični fizik Dirac je celo menil, da je pomembneje, da enačbe vsebujejo lepoto, kot da ustrezajo eksperimentu.

    Nezmožnost dojemanja lepote v matematiki je zelo pogosta in veliko ljudi meni, da je matematika dolgočasna. Razumejo jo kot zbor suhoparnih logičnih formul in njeno vznemirljivost primerjajo z zanimivostjo telefonskega imenika. Ljudje, ki celo trdijo, da jih matematična logika omejuje in da za svojo ustvarjalnost potrebujejo svobodnega in ne z logiko omejenega duha, najbrž ne vedo ne kaj je logika ne kaj ustvarjalnost.

    Na žalost je kar nekaj ljudi, katerih ustvarjalnost je omejena prav z nenaklonjenimi predstavami o matematiki in logiki. Te škodljive predstave se oblikujejo že zelo zgodaj, največkrat skozi slabši pouk matematike ali že prej skozi neprimeren odnos družbe do matematike.

    Od umetnosti je z matematiko še najbolj povezana glasba. Eden največjih dirigentov in skladateljev dvajsetega stoletja, Leonard Bernstein (1918 – 1990) je o glasbi dejal: Glasba je zmes matematike in magije.

    Še bolj slikovito je odnos med glasbo in matematiko opisal veliki angleški matematik in pravnik James Joseph Sylvester (1814 – 1897) z besedami:

    Ali ne bi mogli glasbe opisati kot matematiko smisla in matematike kot glasbo razuma? Po duši sta si pa enaki! Glasbenik matematiko čuti, matematik glasbo misli.

    Večkrat je opaziti odmeve starih frustracij, izvirajočih iz majavih prehodov oslovskega mostu, ko na primer "vrhunski psihologi" s ponosom oznanjajo, da so tudi oni imeli hude težave v šoli, 'seveda pri matematiki'. Take izjave skušajo 'dekriminalizirati' pomanjkanje nekakšne nadarjenosti za matematiko, po drugi strani pa dolgoročno zaznamujejo družbeno gledanje na matematiko kot nepotrebno in omejujočo šolsko nadlogo.

    Žal je tudi na uglednih kulturno-umetniških prireditvah (mednarodni simpozij o Prešernu, SAZU, Ljubljana, december 2000) slišati vplivne ljudi razlagati, da se "še noben narod ni izvlekel iz barbarstva z matematiko". Res je, da ni dokazano, da je matematika kdaj rešila kak narod barbarstva, vsakomur s povprečno razgledanostjo v zgodovini in kulturi pa je jasno, da so vsi narodi, ki so naredili pomembne civilizacijske korake, imeli dobro razvito matematiko.

    Povzeto po Hansu Magnusu Enzensbergerju, enem izmed najuglednejših nemških povojnih pesnikov, pisateljev in esejistov, je stanje duha in kulture, v katerem povsem razsodni in šolani ljudje brez sramu in s čudno mešanico kljubovanja in ponosa ponavljajo, kako zoprna in 'brez veze' se jim zdi matematika, svojevrsten kulturni paradoks, katerega lahko razloži le vedenje, da je nevednost nebeška sila nepremagljive moči.

    Enzensberger dodaja, da živimo v zlati dobi matematike, katere sodobni dosežki so senzacionalni ter katere raziskave so med najboljšimi kulturnimi naložbami, ob katerih se lahko upodabljajoče umetnosti, literatura in gledališče skrijejo.

    Eden največjih umov 20. stoletja Bertrand Russell o matematiki pravi:

    Matematika izpričuje ne samo resnico, ampak tudi dovršeno lepoto – univerzalno in dostojanstveno, podobno lepoti kipa, ki privlači duha... vzvišeno čisto, sposobno nepopustljive popolnosti, takšno, kakršno lahko izpriča le najplemenitejša umetnost.

     


     

    Uporabnost matematike

    Teoretično in izobraževalno vlogo matematike je težko ločiti od njene uporabnosti. Pravzaprav je to problem definicije besede 'uporabnost'. Matematika zagotavlja osnovni jezik in metode razmišljanja, ki so nujne v vseh znanostih. V kakšnih poklicih lahko matematik najbolje uspe, pove dejstvo, da današnja šola od vrtca do univerze ne pomeni samo pridobivanja znanj, ki jih pozneje v življenju potrebujemo, ampak predvsem pridobivanje veščin in spretnosti, da bi se pozneje v življenju lahko hitro naučili vedno novih znanj, ki so potrebna za uspešno delo. In prav to počne matematika. Študij matematike je tako priprava za profesionalno delo v matematiki in obenem odlično izhodišče za dinamične poklice, ki zahtevajo predvsem hitro učljivost.

    Nemogoče je našteti vsa področja, v katerih se uporablja matematika, saj je na različnih nivojih vgrajena v skorajda sleherno človeško dejavnost. Gotovo brez zapletenih matematičnih teorij danes ne bi poznali zgoščenk, računalnikov, mobilnih telefonov, televizijske in digitalne slike, ne bi poznali vesoljskih poletov in ne bi videli natančnih slik oddaljenih vesoljskih teles in galaksij. Razvoj znanosti s področja kemije, fizike, metereologije, oceanografije ali astronomije bi bil na precej primitivnem nivoju. Brez matematične statistike bi malo vedeli o ekologiji, medicini, farmaciji in sociologiji. Moderni poleti z avioni ne bi bili možni brez matematičnih teorij v termodinamiki. Moderna skeniranja v medicini bi bila brez matematike znanstvena fantastika. Razumevanje nastanka in razvoja vesolja ter najmanjših delcev snovi bi bilo brez matematike utopija. S pomočjo matematičnih teorij se poglablja razumevanje genetike in omogoča izgradnja moderne medicinske tehnike in celo umetnih organov. Matematične teorije kaosa in verjetnostnega računa pomagajo predvideti dogajanja v ekonomiji in razložiti naravne pojave od epidemij do izbruhov vulkanov.

    V pozdravnem telegramu 15. junija 2000 je ameriški predsednik Bill Clinton udeležencem 9. mednarodnega kongresa o matematičnem izobraževanju na Japonskem zapisal: Ob prelomu tisočletja se pridružujem vsem, ki prepoznavajo izjemen pomen in centralno vlogo matematike v človeški kulturi, tako zaradi njene izjemne uporabnosti v znanosti in družbi, kot zaradi moči in lepote njenih idej in metod razmišljanja ter zaradi njenega doprinosa k bogatenju človeškega duha.

    Nobelov nagrajenec za fiziko, jedrski fizik Eugene Paul Wigner je o uporabnosti matematike zapisal: Neverjetna uporabnost matematike v naravoslovju meji na skrivnost in jo je razumsko težko razložiti.

    Prav tako Nobelov nagrajenec za fiziko in najslavnejši znanstvenik dvajsetega stoletja Albert Einstein o matematiki pravi: Kako je mogoče, da je matematika, ki jo je oblikoval človeški um neodvisno od poskusa, tako izjemno prilagojena objektivni realnosti?

    Pomen in uporaba matematike v današnjem svetu nenehno naraščata. Matematiki so nepogrešljivi v vladnih službah, industriji, zavarovalništvu, bančništvu, poslovanju, izobraževanju in raziskovanju. Matematika je eno glavnih orodij in gonil razvoja modernih informacijskih tehnologij. Poleg njene uporabnosti v naravoslovju in inženirstvu se dandanes njena uporaba bliskovito širi v ekonomiji, managementu, biologiji, medicini, robotiki, sociologiji, psihologiji in behaviorističnih znanostih. V tujini svetujejo študij matematike kot najboljšo podlago za študij ekonomije, poslovanja, medicine in prava.

    Računalništvo, ki je bilo v začetku le ena izmed ved matematike, je postalo prepoznavni znak in simbol tehnološkega napredka dvajsetega stoletja. Tudi danes računalništvo ostaja močna veja uporabne matematike, ki temelji na matematičnih algoritmih, teorijah ter modelih.

    V današnjem času nujne specializacije je mnogo ljudi, ki so se s pomočjo matematike uveljavili na raznih področjih.

    Matematiki kot Eric Lander prevzemajo pobudo v biomedicinskih raziskavah, ki spreminjajo pojmovanja o medicini in delovanju živih organizmov. Lander - doktor matematičnih znanosti brez formalne izobrazbe v biologiji - je danes eden najbolj znanih biogenetikov in vodja enega najvplivnejših svetovnih laboratorijev s področja genetskih raziskav.

    Ron Sommer - doktor matematičnih znanosti pri enaindvajsetih letih - je danes generalni direktor ene najuspešnejših svetovnih korporacij s področja telekomunikacij - Deutsche Telecoma. Sommerjeva poslovna kariera dokazuje, da je tudi v času multikapitala moč znanja nenadomestljiva in da majhnih ne ogroža toliko pomanjkanje denarja kot pomanjkanje vsestranskih sposobnosti.

    Na čelu ene svetovnih organizacij v zagotavljanju tehnologije za zaščito elektronskih medijev, ki omogočajo moderno elektronsko trgovino, elektronsko komuniciranje in sploh delovanje mobilne telefonije, korporacije Certicom, sta dva matematika. Rick Dalmazzi, predsednik in generalni direktor Certicoma, je diplomirani matematik. Ustanovitelj Certicoma in vodja raziskav, za katere Certicom letno porabi blizu deset milijonov dolarjev, je Scott Vanstone, profesor matematike in računalništva na Univerzi Waterloo. Vanstone je strokovnjak za področja kombinatorike, končne geometrije, končnih obsegov, teorije kodiranja, kriptografije in eliptičnih krivulj. Mnoga izmed teh matematičnih področij so še do nedavnega veljala za strogo teoretična in brez direktne uporabnosti, danes pa predstavljajo osnovo modernih elektronskih zaščit podatkov.

    Matematike najdemo v najrazličnejših službah, kjer jih mogoče nikoli ne bi pričakovali. Naštejmo še nekatera zanimivejša imena:

  • Sir Christopher Wren (1632 – 1723), matematik, astronom in največji angleški arhitekt svoje dobe. Postavil je 53 londonskih cerkva, med njimi tudi slavno katedralo sv. Pavla. Bil je ustanovitelj Angleške kraljeve akademije in njen predsednik v letih 1680-82. Njegovo znanstveno delo sta občudovala celo Newton in Pascal.

  • Charles Lutwidge Dodgson, poznan pod psevdonimom Lewis Carroll, je bil angleški logik, matematik, fotograf in pisatelj, posebej znan po delu za otroke Alica v čudežni deželi.

  • John Pierpont Morgan (1837 - 1913) se je po uspešnem študiju matematike v Göttingenu usmeril v bančništvo in postal simbol ameriške finančne moči. Leta 1895 je ustanovil finančno družbo J. P. Morgan, ki je predvsem zaradi njegove genialnosti prerasla v še danes eno največjih investicijskih bank na svetu.

  • Veliki nemški filozof in utemelitelj fenomenologije Edmund Husserl (1859 – 1938) je študiral matematiko, astronomijo, fiziko in filozofijo in na Dunaju doktoriral iz matematike.

  • Paul Painlevé, bivši predsednik francoske vlade in prvi potnik bratov Wright, je bil ugleden matematik.

  • Lev Trocki (1879 – 1940), znan ruski revolucionar, Leninov sodelavec in eden izmed voditeljev oktobrske revolucije, je študiral tudi matematiko.

  • Eamon de Valera (1882 – 1975) je študiral matematiko in bil pred svojo politično kariero tudi učitelj matematike. Kot eden najuglednejših irskih politikov je v letih med 1932 in 1973 bil skupaj 35 let ali predsednik irske vlade ali predsednik Irske republike in med drugim tudi predsednik sveta in skupščine Lige narodov (ekvivalent današnjih Združenih narodov med obema vojnama). De Valera je bil spoštovan akademik in že leta 1921 kancler Nacionalne irske univerze.

  • Ernest Ansermet (1883 – 1969), znani dirigent, interpret Stravinskega in ustanovitelj slavnega Orkestra romanske Švice, je študiral in poučeval matematiko.

  • Ludwig Wittgenstein (1889 – 1951), velikan filozofije dvajsetega stoletja, je študiral matematiko in aeronavtiko. Preko zanimanja za matematiko se je spoznal z Russllom in se tako začel ukvarjati z logiko in filozofijo.

  • Harry Blackmun (1908-1999) z diplomo "summa cum laude" iz matematike na Harvardu je postal eden najuglednejših sodnikov ameriškega vrhovnega sodišča.

  • Alan Mathison Turing (1912 – 1954), angleški matematik in logik, je bil vodja skupine zavezniških strokovnjakov, ki ji je uspelo dešifrirati nacistični kodirni stroj Enigma. Enigma je bil za tiste čase izjemen dosežek, o katerem so bili nacistični strokovnjaki prepričani, da ga je nemogoče dešifrirati. Zavezniki so razkritje delovanja Enigme dolgo spretno skrivali in tako prišli do najbolj zaupnih nacističnih vojaških skrivnosti. Po zaslugi Turinga in njegove skupine so prestregli več sporočil, ki jih je podpisal sam Hitler, in prišli do pomembnih informacij za pripravo izkrcanja v Normandiji. Nekateri zgodovinarji in analitiki pravijo, da je Alan Turing človek, ki je kot posameznik verjetno največ prispeval za zavezniško zmago v drugi svetovni vojni. Poleg velikega ameriškega matematika Johna von Neumanna (1903 – 1957) velja Turing za očeta modernega računalništva.

  • Witold Lutoslawski (1913 – 1994) je eden najslavnejših skladateljev dvajsetega stoletja. Od svojega otroštva je kazal izjemne intelektualne in glasbene sposobnosti in poleg glasbe študiral tudi matematiko.

  • Ralph David Abernathy (1926 – 1990), znani ameriški duhovnik, borec za človekove pravice in sodelavec Martina Luthra Kinga, je študiral matematiko in sociologijo.

  • Aleksander Solženicin je diplomiral iz matematike in fizike, pozneje pa postal znan ruski pisatelj, zgodovinar in politični disident. Leta 1970 je prejel Nobelovo nagrado za literaturo.

  • Laurence H. Tribe, profesor prava na Harvardu in eden najuglednejših strokovnjakov ameriškega ustavnega prava, je diplomiral iz matematike »summa cum laude« na Harvardu.

  • Corazon Aquino, bivša predsednica Filipinov, je študirala umetnost, francoščino in matematiko.

  • Lee Hsien Loong, vršilec dolžnosti predsednika vlade Singapura in eden glavnih strategov revitalizacije azijske ekonomije ob prelomu tisočletja, je diplomiral iz matematike na Cambridgu.

  • William Perry, bivši ameriški obrambni minister, je doktor matematičnih znanosti.

  • Art Garfunkel, znani pevec zabavne glasbe, je diplomiral iz matematike in začel doktorski študij matematike, ki ga je pozneje opustil in se popolnoma posvetil glasbeni karieri.

  • Pierre Boulez, eden najbolj znanih skladateljev druge polovice dvajsetega stoletja in mednarodno priznani dirigent ter glasbeni teoretik, je diplomiral iz matematike in se ji posvečal tudi kasneje. V svoji karieri je dirigiral najuglednejšim svetovnim simfoničnim orkestrom. Njegovo ime je povezano s številnimi eksperimentalnimi poskusi v klasični glasbi. Bil je glavni dirigent in direktor prestižnih orkestrov kot BBC Symphony Orchestra in New York Philharmonic. Boulez je ustvaril številna glasbena dela in napisal več knjig s področja glasbene teorije.

  • Philip Glass, znani ameriški skladatelj, je že pri petnajstih letih začel s študijem matematike in filozofije na University of Chicago. Njegova opera The Voyage (1992) je bila izvedena v New York Metropolitan Opera v čast petstote obletnice Kolumbovega odkritja Amerike.

  • Apostolos Doxiadis, svetovno znani grški pisatelj in režiser, je bil pri petnajstih letih sprejet na Columbia University, kjer je začel s študijem matematike.

  • Študij matematike je veselil tudi Michaela Jordana, svetovno košarkarsko super zvezdo, ki pa ga je kasneje opustil.

  • Tudi v Sloveniji najdemo matematike v zelo različnih poklicih:

  • Iz zgodovine je znano ime naravoslovca in zgodovinarja, barona Janeza Vajkarda Valvasorja, ki se je ukvarjal tudi z matematiko in bil zaradi svojih naravoslovnih dosežkov sprejet v Angleško kraljevo akademijo, eno najuglednejših znanstvenih akademij vse od ustanovitve v sedemnajstem stoletju.

  • Matematik in veliki strokovnjak balistike Jurij Vega velja za prvega slovenskega eksaktnega znanstvenika.

  • Matematik France Močnik (1814 - 1892) je bil evropsko priznani pedagog, ugledni šolski nadzornik za Kranjsko in pisec matematičnih učbenikov, ki so bili prevedeni v številne evropske jezike.

  • Josip Plemelj (1873 – 1967) je bil matematik svetovnega slovesa in prvi rektor Ljubljanske univerze.

  • Velimir Bole, matematik in ekonomist, je eden glavnih strategov slovenske monetarne politike in med najzaslužnejšimi za uspešno uveljavitev slovenskega tolarja.

  • Prvi slovenski varuh človekovih pravic in kasnejši minister za pravosodje Ivo Bizjak je diplomiral iz matematike.

  • Matematik Darko Medved je izvršni direktor za osebna zavarovanja v Zavarovalnici Triglav.

  • Na čelu delniške družbe Simobil je generalni direktor Bojan Dremelj, po poklicu matematik.

  • Rudi Bric je ustanovitelj in direktor enega najuspešnejših softwerskih podjetij v srednji Evropi - Hermes SoftLab. Prejel je nagrado Svetovnega ekonomskega foruma in evropsko nagrado Marshall Award. Rudi Bric je skupaj s Tomažem Scharo, Mirom Germom in Pavletom Knafličem, ki so vsi diplomanti matematike, v desetih letih ustvaril ugledno podjetje, ki zaposluje več sto strokovnjakov in ima svoje oddelke tudi v ZDA in Nemčiji.

  • Rok Sosič, vodja tehnoloških raziskav pri Turbolinux – vodilni svetovni firmi s področja razvoja operacijskega računalniškega sistema Linux, je matematik in doktor računalniških znanosti.

  • Stereotip matematične sramežljivosti in zadržanosti podira dejstvo, da je celo ena najbolj znanih oseb slovenskega zabavnega in televizijskega življenja - Jonas Žnidaršič - študirala matematiko.

  • Nenazadnje bi morali omeniti tudi nekaj deset najuspešnejših strokovnjakov in profesorjev teoretične in uporabne matematike, ki na slovenskih in najboljših tujih univerzah in inštitutih opravljajo izjemno znanstveno delo.

  • Kje vse lahko torej najde matematik zaposlitev, izziv in uveljavitev svojih sposobnosti, je nemogoče povedati. Možnosti za zaposlitev matematika, še posebej tistega, ki ima tudi bogato računalniško izobrazbo, so naravnost neomejene. Najpogosteje se matematiki zaposlijo v bančništvu, zavarovalništvu, organizacijah in podjetjih, ki se ukvarjajo z računalništvom, statistiko, marketingom, finančnim svetovanjem, finančnim investiranjem in upravljanjem, v državnih inštitucijah, raziskovalnih inštitutih, na univerzah in visokih šolah. Tisti, ki jih veseli tudi socialno angažirano delo, bodo zagrizli v paradoksalno zanemarjeni učiteljski poklic. Pred slednjimi je verjetno največji izziv.

    Ali si že opazil, da so ljudje, ki so po naravi nadarjeni za matematiko, zelo uspešni tudi v vseh drugih strokah? Celo trdoglavci, ki se uče računstva in se vadijo v njem, imajo od tega korist, da se jim bistri um in da začnejo hitreje dojemati. (Platon)

     

     


     

    Študij matematike

    Počutim se kot deček, ki se igra na obali in včasih najde kakšen kamenček, ki je bolj gladek kot ostali, ali školjko, ki je lepša od običajnih, medtem ko sta morje resnice in ocean skrivnosti neodkrita in nedostopna pred mano. (Isaac Newton)

    Tistim, ki se matematiki posvetijo in jo razumejo, študij nudi motivacijo in veselje. Ljudje občudujejo matematiko zaradi njene intelektualne izzivalnosti, jasnosti in dejstva, da človek ve, kdaj ima prav. Rešitev problema nudi vznemirjenje in zadovoljstvo.

    Pomembnost in uporabnost matematike tudi v materialnem smislu nadgrajujeta njeno duhovno in intelektualno bogastvo. Kot znanost matematika napreduje z izjemno hitrostjo. V najširšem smislu je matematika znanost, ki raziskuje prostor, količine, simbole, oblike, odnose in strukture. Matematika je znanost logične analize, sklepanja in izračunavanja znotraj natančno definiranih oblik in struktur. Ko matematik ali drug znanstvenik najde vzorec, oziroma nekakšen urejen model znotraj najrazličnejših znanosti naravnega ali tehnološkega delovanja, lahko abstraktna matematična analiza tega modela razloži oziroma napove delovanje. Matematika ima s svojo prodornostjo v razumevanju in razlaganju narave in tehnologije izjemen pomen za naše vsakdanje življenje in dolgoročno prispeva k duhovnemu in materialnemu bogastvu posameznika in civilizacije.

    Ameriški pesnik Robert Frost (1874 – 1963) je poezijo definiral kot trenutno obvladanje zmešnjave. V televizijskem intervjuju je svojo misel natančneje opisal takole: Človeško prizadevanje je vzpenjanje iz nereda v urejenost in pesmi, ki jih pišem, so majhni drobci urejenosti. Ko človek trpi v občutku življenskega kaosa, je najboljše, kar lahko stori, da oblikuje kakšne urejene oblike, da iz cigaretnega dima oblikuje kolobarčke (veste, tudi ti izražajo urejenost)...

    Tudi prizadevanja matematika so usmerjena v iskanje urejenosti. Matematik na nek način razmišlja ožje od pesnika, a obenem veliko globlje. Za matematika je puhanje dimnih kolobarčkov lahko razvedrilo in pesniški navdih, občutek obvladanja zmešnjave mu prinese šele dokaz izreka oziroma jasna razlaga neke stvarnosti. Ko matematik navideznemu kaosu nerazumevanja ukrade drobno spoznanje in ga urejenega postavi v mozaik logičnega in človeškega, ima občutek vzpenjanja iz nereda v urejenost. V tej perspektivi celo nered in kaos postajata prijaznejša v svetu skrivnostnega in nedojemljivega, kar matematikom pogosto daje tudi pesniško širino.

     

     


     

    Matematika in družba

     

    Vloga in pomen matematike v družbi večkrat ostajata prikrita, čeprav njen pomen za splošno družbeno dobrobit zahteva, da obdrži pomembno vlogo v izobraževanju in raziskovanju. Matematika bo lahko obdržala svojemu pomenu primerni status le, če bo ljudem dostopnejša in njen pomen v javnosti razpoznavnejši. Matematika je zanimiva in vznemirljiva za mnoge, še večje število ljudi pa jo doživlja kot težko in nedostopno. Za dobrobit civilizacije bi morali matematiki storiti vse, kar je v njihovih močeh, da bi javnosti razložili pomen matematike. Pri tem ni dovolj, da se ti napori osredotočijo le na uporabnost matematike, saj bi to lahko pomenilo zanemarjanje matematike kot osnovne znanosti.

    Napori matematikov, da bi razložili svoje delo tudi širši družbi, v veliki meri bogatijo in pozitivno vplivajo na poučevanje in raziskovanja v matematiki. Nedvomno bo prihodnost matematike odvisna od mnenj, ki jih o matematiki imajo ne samo profesionalni matematiki, ampak tudi javnost.

    Popularizacija matematike in osveščanje javnosti nimata samo pragmatične vloge, marveč odpirata vrata mladim ustvarjalnim ljudem, ki bodo v matematiki prepoznali znanost idej.

     

     


     

    Razvoj matematične misli

     

    Proces razvoja matematike običajno pogojujeta radovednost ali ambicija, ki imata lahko zelo različne oblike. Lahko želimo rešiti slaven problem. Lahko nas vodi želja po razumevanju ali po raziskovanju. Hočemo najti odgovore na vprašanja “Zakaj?”, “Kaj če…?” Mogoče bomo poskusili oblikovati nov matematični model, ki bo realiziral neko intuicijo. Iz takih začetnih vzgibov so se oblikovale ideje, ki so zaznamovale človeško zgodovino.

    Prastare intuitivne slike števila, kota, razdalje, dolžine, ploščine, prostornine, smeri, neprekinjenosti, spremembe, simetrije, prostora, verjetnosti, dimenzije, dedukcije, izračunljivosti, gladkosti, neskončnosti in mnoge druge so bile v matematiki opisane v natančnem jeziku. Dobile so obvladljive logične oblike, ki omogočajo natančno sklepanje, izračunavanje in koristne analogije. Matematika je v teh enostavnih pojmih odkrila zapleteno bogastvo ter ob njih zgradila logične strukture, ki sestavljajo nekaj tisočletij nadgrajujočo se zgradbo.

    Matematika je in bo ostala nedokončana zgradba človeškega uma. Matematiki ne pričakujejo odkritja neke velike teorije, ki bo povezala in poenostavila vse znano ali odgovorila na vsa vprašanja, saj je jasno, da takšna celovita ali celostna teorija ne obstaja. Seveda pa je pričakovati nove načine razumevanja in reševanja starih problemov ter odkritja vedno novih.

    Matematika ne napreduje samo skozi nove teorije, ampak pogosto tudi skozi globlje razumevanje najenostavnejših pojmov. Tako je bil na primer razvoj matematike cela stoletja počasen do uvedbe pojma števila 0 okrog leta 500 po Kr. Uporaba ničle je pomenila revolucijo takratne matematike in omogočila izjemno priročnost arabskega sistema števil kot tudi pozneje uvedbo modernih (dvojiških) številskih sistemov. Vsem se nam zdi samoumevna enačba “”, čeprav tukaj “=” ne pomeni enakosti v smislu istosti, temveč le to, da račun na levi pripelje do odgovora na desni strani enačaja. Natančna analiza enakosti je nujna tako pri računalniškem programiranju kot v razvijanju razumevanja moderne fizike delcev. Zato je potreben študij teorije kategorij in večdimenzionalne algebre, ki obravnava algebraične operacije, pogojene z geometrijskimi pogoji.

    Vsaka znanost uporablja matematične koncepte in principe v poskusih potrditve veljavnosti svojih teorij in pri oblikovanju možnih modelov. Matematične trditve so vselej natančno dokazane in prav ta absolutna preverljivost zagotavlja preživetje matematičnih teorij, medtem ko veliko teorij drugih znanosti prej ali slej postane neustreznih, nepopolnih ali netočnih.

    Na vsakem področju, še posebej na znanstvenem, je naivno pričakovati trajno uspešnost brez poznavanja osnovnih principov razmišljanja. Študij matematike predstavlja študij teh temeljnih principov, ki omogočajo razumevanje slehernega sistema.

     

     


     

    Kraljevska pot

     

    Študij matematike je zanimiv in težak. Evklid je že pred več kot 2000 leti rekel, da ni kraljevske poti v matematiki.

    Za uspešen študij matematike so potrebne nadarjenost, vztrajnost in pripravljenost hoditi tudi po nekraljevskih poteh. Za matematiko še posebej velja, kar je napisal znani irski dramatik George Bernard Shaw (1856 – 1950), da je želeti študenta, ki lovi znanje, in ne znanje, ki lovi študenta.

    Obseg današnjega znanja matematike je ogromen. Strokovna matematična literatura je razdeljena na nekaj tisoč področij. Vsako leto matematiki odkrijejo in dokažejo na desettisoče novih izrekov. Samo v matematični knjižnici Oddelka za matematiko ljubljanske univerze je približno 50000 matematičnih knjig, kar bi pomenilo skoraj 1000 let študija, če bi za vsako knjigo potrebovali teden dni. In za povprečno knjigo bi povprečni matematik potreboval precej več kot teden dni. Za študij matematike je namreč potrebna skrajna zbranost in veliko samostojnosti. Razumevanje ene vrstice matematičnega teksta lahko zahteva ure dela in nekaj popisanih listov.

    Začetek študija je podoben začetnim korakom gorskega vzpona. Prvi del poti večkrat vodi skozi nepregledni gozd, potem se pogled v dolino počasi začne odpirati.

    Študij matematike se začne s klasičnimi poglavji analize in algebre, ki v grobem pomenijo nadgradnjo poznavanja množic, števil, funkcij in vektorjev. Ti pojmi so izhodišče vseh drugih poglavij, ki sestavljajo železni repertoar študija matematike. Zaradi obsežnosti matematičnih znanj se že kmalu začne nujna izbira in usmerjanje v posamezne grobe smeri študija. Pri bolj uporabno usmerjenih študijih prevladujejo poglavja diskretne matematike, numerične analize in računalništva, sicer pa se znanja iz analize in algebre začnejo nadgrajevati in širiti v nove veje matematike, od topologije – znanosti, ki se ukvarja z raziskovanjem oblik in prostora - do numeričnih metod, osnov astronomije, fizike in mehanike, verjetnostnega računa, statistike, teorije mere in drugih.

     


     

    Opombe iz življenja nekaterih znanih ljudi

     

    1. Platon (427 - 349 pr. Kr.) je bil drugi v velikem triu starogrških mislecev (Sokrat, Platon in Aristotel), ki so postavili filozofske temelje zahodne civilizacije. Njegova misel s svojimi logičnimi in metafizičnimi poudarki je v bistvu najprej etična. Platonovo filozofijo bi tako lahko označili kot racionalistično etiko. Opus njegovih del je izjemno obširen. Platon je bil Sokratov učenec, učil se je tudi pri matematiku Theodorusu (v današnji Libiji) in pri Archytasu v pitagorejski šoli (v današnji Italiji). Njegovi študiji v Italiji so se žalostno končali, ko ga je Dionysius I, vladar Sirakuz, prodal v suženjstvo, vendar se je prigoda srečno končala, saj ga je neki prijatelj odkupil, tako da se je Platon lahko svoboden vrnil v Atene. Približno leta 380 pr. Kr. je Platon ustanovil Akademijo, nad vhodom katere je pisalo: “Naj nihče, ki ne razume geometrije, ne vstopa!”
    2. Evklid iz Aleksandrije (živel v času okoli 300 pr. Kr.) Potem ko je Aleksander Veliki leta 332 pr. Kr. ustanovil mesto Aleksandrijo, je Evklid približno leta 300 pr. Kr. postal prvi učitelj matematike na novo ustanovljeni univerzi. Pisal je knjige s področja optike, glasbe in astronomije, največjo slavo pa mu je prinesla zbirka trinajstih knjig (poglavij), imenovanih Elementi. V njih je Evklid zbral in uredil vso do tedaj znano matematiko. Prvih šest knjig je obravnavalo ravninsko geometrijo, sedma, osma, deveta in deseta knjiga so bile posvečene aritmetiki, zadnje tri pa geometriji teles. V Elementih je bilo zbrano delo Pitagorejcev (pitagorejske šole), Hipokrata, Eudoxa, Theaetetosa in drugih. Evklidov prispevek je bila logična organizacija, ki je temeljila na aksiomih, natančnih definicijah in korektnih izpeljavah. Evklidovi Elementi veljajo za eno glavnih izhodišč evropske znanosti.
    3. Leonardo da Vinci (1452 - 1519) je bil velik umetnik in znanstvenik. Kot umetnik je smatral svoje oči in sposobnost opazovanja za glavno pot do (spo)znanja. Njegov saper vedere (znati videti) je bil glavna tema njegovih študij narave in človeških dosežkov. Leonardova ustvarjalnost je segala na področja slikarstva, kiparstva, arhitekture in inženirstva. S svojim izjemnim umom in sposobnostjo opazovanja je posegal tudi v splošni študij narave, kjer je s svojim pazljivim očesom in prodorno logiko izkazal tako svoje umetniške kot znanstvene sposobnosti. Študiral je latinščino in matematiko, čeprav je bil njegov študij skoraj vedno praktično usmerjen. Leonardo je delal kot tehnični svetovalec in inženir ter izdelal načrte na področjih arhitekture, vojskovanja, gradnje utrdb in mostov, hidravličnih naprav in črpalk ter raznovrstnih mehanskih naprav. Izdelal je risbe za knjigo Divina proportione velikega italijanskega matematika Lucasa Paciolija. Leonardo se je izkazal tudi kot pisatelj. Pisal je monografije s področja slikarstva, arhitekture, mehanike in anatomije. Dobro je poznal tudi botaniko in bil za takratne čase revolucionarni sanjač na področjih hidrodinamike in aviacije. Njegovi rokopisi so bili polni matematičnih, optičnih, mehaničnih, geoloških in botaničnih razmišljanj, ki jih je razumeti kot del njegovega celostnega spoznanja narave. Leonardova pisana beseda je jasna, enostavna in izrazna. Njegov besedni zaklad je bil izjemen in predstavlja pomemben prispevek v razvoju italijanskega jezika, še posebej na znanstvenem področju. Bil je začetnik današnjega ilustratorstva, čeprav je v njegovih delih glavno vlogo imela slika. Zanimivo je tudi to, da je Leonardo skoraj vedno pisal zrcalno, kar pomeni, da so bili njegovi teksti berljivi s pomočjo zrcala. Ta način mu je bil kot levičarju naraven, čeprav je tekoče obvladal tudi ‘običajno’ pisanje.
    4. Galileo Galilei (1564 - 1642) je italijanski matematik, fizik in astronom, ki je veliko prispeval k moderni znanstveni misli. Njegove potrditve odkritij, da se Zemlja vrti okoli Sonca, so povzročile spor s cerkvenimi oblastmi, tako da je po odredbi inkvizicije zadnjih osem let svojega življenja preživel v hišnem priporu. Galileova opazovanja in matematične analize sončnega sistema so postavile izhodišča za poznejše Newtonove zakone na področju gravitacije. Galilei velja za začetnika moderne mehanike. Iz opazovanj nihanj cerkvenih lestencev je denimo prišel do spoznanj o nihanju nihala, ki so vodila do uporabe le-teh pri konstrukciji ur. Galilei je študiral medicino in matematiko in bil pozneje učitelj matematike na univerzi v Pisi. Bil je prvi, ki je pri svojih astronomskih opazovanjih uporabljal teleskop, ki ga je sam sestavil in je omogočal dvaintridesetkratno povečavo. Na podlagi uporabe teleskopa je prišel do takrat revolucionarnih odkritij v astronomiji. Ugotovil je na primer, da površina Lune ni gladka, in odkril Jupitrove lune. S svojimi znanstvenimi odkritji in s simpatijami oblasti v Rimu, katere je očaral s svojim izumom teleskopa, si je nakopal veliko sovražnikov takratne akademske elite v Italiji. Po nagovarjanjih enega izmed svojih učencev, benediktinskega meniha Castellija, je rimskim oblastem napisal znano pismo, v katerem je opozoril na nevarnost ozke cerkvene interpretacije Svetega pisma v zvezi z novimi znanstvenimi odkritji in poudaril, “kako velika škoda za duše ljudi bi bilo proglasiti za greh verovanje v stvari, ki so logično dokazljive”. Tudi njegova osebna posredovanja v Rimu so se ponesrečila in tedaj glavni rimski teolog in kardinal Robert Bellarmine se je, verjetno tudi pod vplivom Galilejevih akademskih nasprotnikov, odločil, da z dekretom 15.3.1616 razglasi Kopernikove ideje za blodnje in jih prepove. Zanimivo pa je, da je le nekaj dni pred tem - 26.2.1616 - kardinal Bellarmine sprejel Galilea, da bi ga obvestil o sprejetem dekretu in ga opozoril, naj svojih teorij javno ne brani, da jih pa lahko razvija kot “matematične hipoteze”. Knjigo Saggiatore (v kateri tudi napiše slavno misel, da je knjiga narave napisana v matematičnem jeziku) posveti papežu Urbanu VIII, ki je bil dolgoletni prijatelj in zaščitnik Galilea. Leta 1624 Galilei zaman poskuša od papeža Urbana VIII doseči preklic dekreta iz leta 1616, vendar mu je dovoljeno pisati tako o Ptolomejevem kot o Kopernikovem sistemu, če le ne piše o njih kot o edinih možnih sistemih in če so zaključki razprave takšni, kot mu jih je papež narekoval, torej da človek ne more predpostavljati vedenja, kako je svet narejen, kajti to ve le Bog. Leta 1632 je nastalo eno najbolj nenavadnih znanstvenih del v zgodovini Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo, tolemaico e copernicano (Dialog o dveh glavnih sistemih sveta – Ptolomejevem in Kopernikovem). Knjiga je dobila potrditev cenzorjev in bila po vsej Evropi sprejeta kot literarna in filozofska mojstrovina. V knjigi se je Galileo spretno logično držal papeških navodil, a obenem skozi dialoge nedvoumno propagiral Kopernikov sistem in vlogo zagovornikov Ptolomejevega sistema zaupal Simpliciu, ki ga skozi tekst spretno sramoti. V Simpliciu so poznejši kritiki celo prepoznali figuro papeža Urbana. Knjiga je bila naknadno prepovedana, Galilei je padel v nemilost pri papežu in bil leta 1633 obsojen na “obžalovanje svojih napak”, zaporna kazen pa mu je bila zaradi še vedno močnih simpatij pri papežu spremenjena v hišni pripor.
    5. Galilejeva teleskopa

    6. Eudoxus (405 - 355 pr. Kr.) iz Cnidusa v mali Aziji, današnji Turčiji, je (starogrški) znanstvenik, ki se je ukvarjal z matematiko, astronomijo, medicino, geografijo in filozofijo. Veliko je prispeval k razvoju teorije števil in bil med prvimi, ki so razložili gibanje Sonca, Lune in planetov. Začel je sistematično povezovati matematične študije in astronomska opazovanja. Med prvimi je matematično natančno dokazal formulo za ploščino kroga, pri čemer števila "PI" takrat niso poznali tako natančno kot danes.
    7. Jakob Bernoulli (1655 - 1705) je bil prvi v Bernoullijevi družini švicarskih matematikov. Po volji očeta je študiral teologijo, a se je kmalu posvetil matematiki. Bil je profesor matematike na univerzi v Baslu. Ukvarjal se je z analizo, teorijo števil in verjetnostjo. Njegove zaključke iz študija krivulje verižnice (prosto viseča veriga, obešena na dveh koncih) so kmalu uporabili v inženirstvu gradnje visečih mostov. V svojih delih Ars Conjectandi (Umetnost predpostavljanja) in Opera Jacobi Bernoullii (Zbrano delo) je obdelal med drugim teorijo permutacij in kombinacij, tako imenovana Bernoullijeva števila in postavil temelje moderne teorije verjetnosti.
    8. Maurits Cornelius Escher (1898 - 1972), nizozemski grafični umetnik, je znan po uporabi realističnih podrobnosti, spretno povezanih v nenavadne optične in predstavne oblike. S svojimi slikami je navdušil ne samo matematike, ampak tudi kognitivne psihologe in širšo javnost. Sam je sebe imenoval “grafični umetnik”. Bil je velik specialist lesoreza in litografije. Čeprav Escher ni imel nikakršne formalne matematične izobrazbe, so ga nekatere matematične ideje tako prevzele, da se je vanje dodobra poglobil in jih uspel v svojih umetniških delih ponazoriti in vizualizirati. Iz matematike je črpal navdih za svoja dela in umetniško izvirno uprizoril številne geometrične oblike, ki se sicer izmikajo nazorni predstavi.
    9. Carl Friderich Gauss (1777 - 1855) velja poleg Arhimeda in Newtona za največjega matematika vseh časov. S svojimi odkritji v teoriji števil je odprl pot za povsem novo in dosledno obravnavanje analize. Poleg številnih dosežkov na področjih teoretične matematike je veliko prispeval k razvoju uporabnosti matematike na področjih astronomije, geodezije in elektromagnetizma. Gauß je izrekel slavno misel »Matematika, kraljica znanosti, aritmetika, kraljica matematike.« Gaussa, ki je bil rojen v revni družini, je zaradi izjemnih sposobnosti za matematiko in jezike finančno podprl vojvoda Braunschweig. Pri dvaindvajsetih letih je Gauß doktoriral iz matematičnih znanosti z dokazom osnovnega izreka algebre, ki pravi, da ima vsak nekonstanten polinom vsaj eno (kompleksno) ničlo. Komaj štiriindvajset let star je objavil delo Disquisitiones Arithmeticae, ki predstavlja eno najbriljantnejših del v zgodovini matematike in še posebej v teoriji števil. S pomočjo teorije števil je Gauss rešil mnoge od grških časov nerešene geometrijske probleme. Genialnost Gaußovega uma se je pokazala večkrat, na primer ob natančnih izračunih orbite astroida Ceres, s katerimi je presenetil astronome. Veliko je prispeval k raziskavam o zemeljski obliki in velikosti in preko tega prišel do izjemnih odkritij diferencialne geometrije in teorije ploskev. Prav te ideje so navdihnile tudi enega njegovih najboljših učencev - Bernharda Riemanna, ki je te geometrijske ideje razvil in pripravil pot Einsteinovim odkritjem splošne teorije relativnosti. Gauss je pustil pomembne sledi na vseh področjih matematike in na mnogih področjih fizike. Njegova dela obsegajo preko 150 naslovov, pri čemer so zanimiva tri njegova načela pisanja: Pauca, sed matura (Malo, ampak zrelo), Ut nihil amplius desiderandum relictum sit (Da ne ostane nič, kar bi bilo treba dodati) in Exacte (Natančno).
    10. Nikolaj Ivanovič Lobačevski (1792 - 1856) je ruski matematik, ki poleg madžarskega matematika Jánoša Bolyaija velja za utemeljitelja neevklidske (hiperbolične) geometrije. Leta 1829 objavljena Teorija neevklidske geometrije je poleg vzporednega dela Bolyaija, ki je bilo objavljeno leta 1832, predstavljala rešitev 2000 let starega problema petega Evklidovega aksioma. Lobačevski se je s pojmi prostora in časa ukvarjal tudi filozofsko in bil oster nasprotnik Kantovega transcendentalnega idealizma, za katerega je prostor in čas obstajal sam po sebi. Lobačevski je začel univerzitetni študij matematike pri štirinajstih letih, pri štiriindvajsetih pa je že bil univerzitetni profesor. Delo Lobačevskega je posegalo na skoraj vsa področja analize, na področje verjetnosti in algebre. Glavno delo Lobačevskega s področja neevklidske geometrije je za časa njegovega življenja ostalo neopaženo. Njegovo pomembnost so v letih 1866 – 1871 pokazali nemška matematika Bernhard Riemann in Felix Klein ter italijanski matematik Eugeni Beltrami.
    11. Jánoš Bolyai (1802 - 1860) poleg Lobačevskega velja za ustanovitelja neevklidske geometrije. Oba matematika sta prišla do podobnih spoznanj neodvisno in približno v istem času. Pod mentorstvom svojega očeta, profesorja matematike Farkasa Bolyaija, se je Jánoš v starosti med desetimi in trinajstimi leti naučil analize in analitične mehanike. Tudi še v otroških letih je postal izjemen violinist. Jánoš je po očetu prevzel zanimanje za peti Evklidov aksiom, ki ga je njegov oče poskušal dokazati. Drugače kot oče se je Jánoš kmalu usmeril v povsem nove smeri reševanja te tisočletne uganke. Znano je, da mu je oče ostro nasprotoval in mu skušal celo preprečiti zavzete študije v smeri sprejemanja ideje neevklidske geometrije. Preden je objavil svoje delo o neevklidski geometriji, je izvedel, da je tako rešitev predvidel že Gauß, in to ga je močno potrlo. Poleg dela na področju neevklidske geometrije je Bolyai raziskoval tudi na področju kompleksnih števil. Pomembnost njegovega dela je postala znana šele po njegovi smrti.
    12. Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826 - 1866) je nemški matematik, čigar delo je pomembno oblikovalo moderni razvoj geometrije in analize in posledično tudi teoretične fizike. Njegove ideje iz geometrije so bile uporabljene v teoriji relativnosti. Oblikoval je pojem eliptične geometrije, ki med neevklidskimi geometrijami predstavlja alternativo hiperbolični geometriji. Študiral je na univerzi v Göttingenu. Veliko je prispeval k razvoju teorije števil, teorije kompleksnih funkcij in teorije ploskev.
    13. Aristotel (384 - 322 pr. Kr.) je bil Platonov učenec, ki je v marsičem presegel svojega učitelja ali se ni strinjal z njim. Zavračal je abstraktne platonske ideje, ki naj bi obstajale neodvisno od materialne stvarnosti. Prav na podlagi ločevanja med stvarnim in abstraktnim je razvil dosledno logiko razmišljanja. Ukvarjal se je s številnimi področji od matematike, fizike, logike, filozofije, psihologije, metafizike, etike, politike do umetnosti in retorike. Njegov obširni opus obsega številna dela na vseh teh področjih. Aristotel je zavračal pojem neskončnosti in prav s svojimi poskusi ovreči takrat ohlapni pojem neskončnosti je veliko pripomogel k razumevanju neskončnega v matematiki in filozofiji. V svoji Poetiki med drugim piše: Da bi živo bitje ali del narave lahko bilo lepo, mora ustrezati določeni urejenosti in razporeditvi. Vsaka lepa stvar in vsi njeni deli morajo biti določenih končnih velikosti. Lepota je stvar velikosti in urejenosti in torej nemogoča v stvaritvi ogromne velikosti - recimo milijon korakov – v takem primeru stvari sploh ni možno videti naenkrat in so tako njena enotnost, celota in lepota za opazovalca izgubljene.
    14. Jules - Henri Poincaré (1854 - 1912) je bil francoski matematik, astronom in vpliven filozof znanosti. Njegove ideje imajo pomembno mesto v kozmologiji, teoriji relativnosti in topologiji. Poincaré je bil nadarjen in karizmatičen interpret pomena znanosti za javnost. Ukvarjal se je z mehaniko, eksperimentalno fiziko, skoraj z vsemi področji teoretične in uporabne matematike in z astronomijo. Svoje nove matematične teorije v astronomiji je predstavil v trilogiji Les Méthodes nouvelles de la mécanique céleste (Nove metode nebesne mehanike), v knjigi Analysis situs (Pozicijska analiza) pa je postavil temelje topologiji. V članku o dinamiki elektrona leta 1906 je neodvisno od Einsteina objavil veliko rezultatov poznejše splošne teorije relativnosti. Poleg številnih znanstvenih prispevkov je Poincaré objavil tudi vrsto knjig, v katerih je znanost približal javnosti (Znanost in hipoteza, Vrednost znanosti, Znanost in metoda). Knjige so doživele velik uspeh in bile prevedene v številne svetovne jezike. Ukvarjal se je tudi s filozofijo in psihologijo in bil eden prvih intuicionistov. Njegov znanstveni ugled je bil kronan z izvolitvijo za predsednika Francoske akademije znanosti leta 1906, leta 1908 pa je postal član Francoske akademije, kar je najvišja čast za francoske pisatelje.
    15. Paul Adrien Maurice Dirac (1902 - 1984) je angleški matematik in teoretični fizik švicarsko-francoskega rodu, najbolj znan po delu s področja kvantne mehanike in po teoriji spina elektrona. Dirac velja za ‘odkritelja’ antimaterije. Leta 1933 je skupaj z avstrijskim fizikom Erwinom Schrödingerjem prejel Nobelovo nagrado za fiziko.
    16. Bertrand Russell (1872 - 1970) je bil angleški logik in filozof. Najbolj je znan po delih s področja matematične logike in filozofije ter po družbenem in političnem agitiranju na področjih pacifizma in jedrske razorožitve. Leta 1950 je prejel Nobelovo nagrado za literaturo. Med svojimi številnimi profesorskimi pozicijami je bil tudi učitelj geometrije. Med njegovimi najpomembnejšimi deli izstopajo Razprava o pomenu in resnici; Človeško znanje, njegov obseg in omejenost; Analiza materije; Analiza razuma; Teorija in praksa boljševizma; Zgodovina zahodne filozofije in Moj filozofski razvoj. Skupaj z velikim angleškim filozofom in matematikom Alfredom Northom Whiteheadom (1861 –1947) je objavil obsežno trilogijo Principia Mathematica. Zaradi svojih pacifističnih aktivnosti je med prvo svetovno vojno izgubil učiteljsko službo in bil zaprt. V zaporu je nastalo njegovo delo Uvod v matematično filozofijo. V svoji filozofiji logičnega atomizma je sprejel mnoge ideje svojega učenca Ludwiga Wittgensteina. Napisal je celo vrsto odmevnih poljudnih knjig: ABC o atomih; ABC o relativnosti; Kar verjamem; Poroka in morala; Znanstveni pogled; Izobraževanje in socialna ureditev; Zakaj nisem kristjan,… Med njegovim političnim delovanjem je bil najbolj odmeven njegov pacifizem. Znana je Russell – Einsteinova izjava, katere podpisniki so bili Nobelovi nagrajenci in ki je vodila do konference Pugwash (prvo srečanje je bilo leta 1957, eno izmed nadaljnjih srečanj je bilo tudi v Jugoslaviji). Konferenca je združevala ugledne znanstvenike z vsega sveta in iz obeh velikih političnih blokov, njen vsebinski naslov pa je bil Konferenca o znanosti in svetovnih zadevah. Namen in vsaj delno doseženi cilj konference je bila obsežna kampanja za jedrsko razorožitev. Russell je bil od začetka predsednik konference. Zaradi razočaranja nad svetovno politiko je leta 1960 odstopil od predsedovanja in ustanovil aktivnejšo skupino, ki je organizirala proteste in civilno nepokorščino proti oboroževalni politiki, ter se tako leta 1961 spet znašel v zaporu. V nadaljevanju šestdesetih let je bil oster nasprotnik ameriške politike v Vietnamu in skupaj s francoskim pisateljem in filozofom Jean-Paul Sartrom in drugimi vplivnimi imeni ustanovil Mednarodno sodišče za vojne zločine, preko katerega so pisali o ameriških vojnih grozodejstvih v Vietnamu. Russell velja za enega najbolj raznolikih in vplivnih umov dvajsetega stoletja, najbrž tudi zaradi izjemnih pisateljskih sposobnosti. Bil je človek, ki je imel tudi po 40 knjig hkrati v tisku, in to s področij kot so filozofija, matematika, etika, sociologija, izobraževanje, zgodovina, religija in politika.
    17. Jenó Pál Wigner (1902 - 1995), bolj znan kot Eugene Paul Wigner, je madžarsko-ameriški fizik, ki je leta 1963 za dosežke s področja jedrske fizike skupaj z Nemcem J. H. D. Jensenom in Američanom M. G. Mayerjem prejel Nobelovo nagrado za fiziko. Wigner je študiral kemijo in pozneje predaval fiziko in matematično fiziko na univerzah v Göttingenu, Wisconsinu in Princetonu. Razvil je principe uporabe teorije grup v kvantni mehaniki in pojem simetrije prostora in časa, ki so pomagali razložiti obnašanje subatomskih delcev. Njegovo delo v teoriji absorpcije nevtronov je pomembno prispevalo k poznejši uresničitvi gradnje jedrskih reaktorjev. Wigner ima skupaj s Szilardom in Einsteinom zasluge oz. krivdo za zgodovinsko pismo ameriškemu predsedniku Rooseveltu leta 1939, ki je sprožilo začetek projekta gradnje atomske bombe.
    18. Albert Einstein (1879 - 1955) je bil eden najbolj kreativnih umov v človeški zgodovini. V fiziko je uvedel popolnoma nove ideje o prostoru, času, gravitaciji in o ekvivalenci energije in mase. Nadgradil je Newtonovo fiziko in revolucioniziral znanost in filozofijo. Zavzemal se je za socialno pravičnost in odgovornost. Svojo veliko avtoriteto je uporabljal za promocijo pacifizma in liberalizma. Einstein je poleg matematike in fizike študiral tudi glasbo in postal dober violinist. Fizikalni članki, ki jih je izdal kmalu po začetku svoje poklicne kariere kot učitelj matematike, so kmalu spremenili razumevanje vesolja. Njegovi številni prispevki v fiziki, od katerih je najbolj znana teorija relativnosti, so za nekaj desetletij začrtali razvoj znanosti in Einsteinu prinesli slavo in ugled. Leta 1921, ko so na njegovo teorijo relativnosti še gledali s skepso, je prejel Nobelovo nagrado za fiziko. Pred in med prvo svetovno vojno se je aktivno boril proti nemškemu militarizmu. Njegov znanstveni zaton se je začel ob novih idejah kvantne mehanike, ki jih Einstein ni nikoli sprejel. Trpel je tudi zaradi spopadov med Arabci in Judi v Palestini ter zaradi vzpona nacistov v Nemčiji. Leta 1931, ko je bil gostujoči profesor v Oxfordu, je menda posvečal več pozornosti pacifizmu kot znanosti. Ustanovil je celo Einsteinovo mednarodno fondacijo proti vojni in preko nje izvajal pritisk na bližajočo se razorožitveno konferenco v Ženevi leta 1932. Svoje razočaranje po koncu konference je opisal z besedami: ‘Politiki in državniki so nas osleparili. Norca se delajo iz nas.’ Einstein si je takrat dopisoval tudi z avstrijskim psihiatrom Sigmundom Freudom in s hindujskim pesnikom in mistikom Rabindranathom Tagorejem. Ko so leta 1933 v Nemčiji prišli na oblast nacisti, je Einstein prevzel profesuro na School of Mathematics v Princetonu. Zaradi nacističnega militarizma v Evropi je prekršil pacifistična pravila in pozval Evropo, naj se oboroži in pripravi na vojno z Nemčijo. V tem času se je zaradi znanstvenih in političnih neuspehov zelo spremenil in sam sebe opisal kot ‘veliki kamniti obraz’. Strah pred nemškim razvojem atomske bombe in nekateri sodelavci so prepričali Einsteina, da je uporabil svojo avtoriteto in v pismu predsedniku ZDA Rooseveltu pozval na ‘veliko opreznost in, če potrebno, na hitro akcijo’ pri izgradnji ameriške atomske bombe. To Einsteinovo priporočilo je pomenilo začetek projekta Manhattan. Einstein pri projektu Manhattan ni sodeloval in je za izdelavo atomske bombe menda izvedel šele ob uničenju Hirošime leta 1945. Zadnji stavek, ki ga je Einstein zapisal pred smrtjo, je bil: Rad bi s svojimi slabotnimi sposobnostmi služil resnici in pravici, pa četudi s tem ne razveselim nikogar. Einsteinov prispevek k razumevanju sveta je nenadomestljiv, medtem ko so njegovi veliki napori v smeri humanizacije sveta skoraj povsem pozabljeni. Mogoče je Einstein to slutil, ko je zapisal: Politika je za trenutek. Enačba je za večnost.
    19. Eric Lander (1957) je profesor biologije in direktor Centra za genetske raziskave na MIT (Massachusetts Institute of Technology), enem najuglednejših raziskovalnih in izobraževalnih inštitutov na svetu. Je tudi aktivni član Whiteheadovega inštituta za biomedicinske raziskave in član številnih znanstvenih združenj. Center za genetske raziskave, ki ga vodi, predstavlja vodilno silo v mednarodnem projektu Človeškega genoma, ki želi v celoti analizirali človeško genetsko sliko. Človeški genom naj bi za prihodnjo medicino pomenil to, kar pomeni periodični sistem za kemijo. Landerjevi prispevki v genetiki, molekularni biologiji in biomedicini so nedvomno izjemni, čeprav je Eric Lander človek brez formalne izobrazbe v biologiji. Diplomiral je iz matematike na Univerzi v Princetonu in doktoriral prav tako iz matematike na Univerzi v Oxfordu. Z biologijo se je srečal skorajda naključno skozi pogovore s svojim bratom nevrologom. Z uporabo matematičnega znanja in metod so se mu vrata v biologijo in genetiko hitro in na stežaj odprla.
    20. Ron Sommer (1949) je študiral matematiko in že pri enaindvajsetih letih dosegel doktorat znanosti na dunajski univerzi s področja verjetnosti. Potem se je hitro uveljavil v poslovnem svetu in pri enaintridesetih letih postal direktor nemškega oddelka korporacije Sony, deset let pozneje je prevzel vodenje ameriškega oddelka Sony in leta 1995 postal generalni direktor ene vodilnih firm v svetovnih telekomunikacijah - Deutsche Telekom.
    21. Charles Lutwidge Dodgson (1832 – 1898), poznan pod imenom Lewis Carroll, je bil angleški logik, matematik, fotograf in pisatelj, še posebej znan po otroških delih Alica v čudežni deželi, Skozi ogledalo in Kaj je Alica tam našla. Dodgson je bil zelo sramežljiv, vendar je rad pripovedoval zgodbe, ki si jih je sproti izmišljeval in jih med pripovedovanjem sproti ilustriral. Postal je anglikanski duhovnik in učitelj matematike. Alica v čudežni deželi je bila najprej le spontano izmišljena zgodba, ki jo je pripovedoval pastorjevim otrokom Alice, Lorini in Edith. Pozneje je zgodbo napisal, ilustriral in poklonil Alice Liddell. Pisatelj Henry Kingsley, ki je besedilo slučajno opazil na obisku pri Liddellovih, je svetoval gospe Liddell, naj zgodbo tisti, ki jo je napisal, vsekakor objavi. Z veliko zadržanosti je Dodgson delo nekoliko predelal in pristal na objavo pod psevdonimom Lewis Caroll. Ta psevdonim je pozneje uporabljal za vsa svoja neakademska dela. Tudi nadaljnje zgodbe so nastale podobno. Ob Dodgsonovi smrti je bila Alica v čudežni deželi že najbolj priljubljena otroška knjiga v Angliji, ob stoletnici njegovega rojstva pa znana in priljubljena po vsem svetu. Dodgson se je uveljavil kot priznan otroški fotograf. Objavil je tudi številna druga literarna in štiri matematična dela.
    22. Paul Painlevé (1863 - 1933) je bil ugleden francoski politik, priznan matematik in strokovnjak s področja letalstva. Kot prvi Francoz je skupaj z Wilburjem Wrightom poletel leta 1908 v Auvouru. Bil je tudi prvi profesor aeronavtične mehanike na École Aéronautique. Painlevé je bil predsednik francoske vlade v ključnem času prve svetovne vojne in pozneje med finančno krizo leta 1925 ter večkratni minister francoske vlade. Bil je tudi briljanten matematik, ki je deloval na področjih transformacij, diferencialnih enačb in teorije funkcij. Že leta 1900 je postal član Francoske akademije znanosti.
    23. Apostolos Doxiadis (1953), svetovno znani grški pisatelj in režiser, je bil pri petnajstih letih sprejet na Columbia University, kjer je začel s študijem matematike. Podiplomski študij uporabne matematike je nadaljeval v Parizu, pozneje pa se je posvetil gledališču, filmu in pisateljevanju. Leta 1988 je na Mednarodnem berlinskem filmskem festivalu za film Terirem prejel nagrado za umetniški film. Njegova najbolj znana dela so Uncle Petros and Goldbach's Conjecture, Parallel Life, Macabetas in Three Little Men. Za matematike je najbolj zanimiva knjiga Uncle Petros and Goldbach's Conjecture, v kateri stric Petros dokazuje Goldbachovo domnevo, ki pravi, da je vsako sodo število (večje od dva) vsota dveh praštevil. Doxiadis je skupaj z založnikom ob izidu knjige Uncle Petros and Goldbach's Conjecture razpisal nagrado v višini milijona ameriških dolarjev za dokaz Goldbachove domneve.
    24. Janez Vajkard Valvasor (1641 - 1693) je po študiju na jezuitskem kolegiju v Ljubljani veliko potoval po zahodni Evropi in severni Afriki in se leta 1672 ustalil na Bogenšperku. Poleg vojaške službe je večino svojega življenja posvetil naravoslovju, se ukvarjal z matematiko, zbirateljstvom in preučevanjem svoje domovine Kranjske. Valvasor je bil eden prvih sistematičnih kartografov pri nas, izdelal je načrt za predor Ljubelj, bil prvi, ki se je pričel ukvarjati z bakrotiskarstvom, raziskava Cerkniškega jezera pa mu je prislužila članstvo v Angleški kraljevi akademiji. Njegovo najbolj znano delo je Slava vojvodine Kranjske, ki je izšla v Nuernbergu leta 1689. Knjiga v 15 poglavjih na kar 3532 straneh ilustrira življenje v večjem delu današnje Slovenije ob koncu 17. stoletja.
    25. Jurij Vega (1754 - 1802) je bil rojen v Zagorici pri Ljubljani. Študiral je v Ljubljani in kasneje postal oficir in strokovnjak za balistiko v avstrijski vojski. Zaradi dosežkov na področju raziskav in poučevanja balistike je prejel najvišja vojaška odlikovanja in baronski naziv. Na področju matematičnih raziskav je dosegel največji uspeh njegov Priročnik (Manuale logarithmico – trigonometricum, 1793), katerega 102. izdaja v nemškem jeziku je izšla še leta 1966, bil pa je prirejen tudi v angleškem, francoskem, italijanskem, nizozemskem in danskem jeziku. Njegovo najobsežnejše delo je Popolna zakladnica logaritmov (Thesaurus logarithmorum completus, 1794), ki predstavlja eno najtemeljitejših del s področja logaritmov.
    26. Isaac Newton (1642 - 1727), angleški matematik, fizik, astronom in filozof je bil najpomembnejši predstavnik znanstvene revolucije sedemnajstega stoletja. V matematiki je postavil temelje infinitezimalnega in integralnega računa ter s tem moderne analize. Vzporedno in neodvisno je do istih spoznanj prišel tudi veliki nemški filozof, matematik in politični svetovalec Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716). Newtonova odkritja na področju optike so začrtala njen moderni razvoj. Na področju mehanike so njegovi zakoni postavili temelje razumevanja gravitacije in klasične fizike, katere bistveno dopolnitev predstavlja šele Einsteinovo delo v dvajsetem stoletju. Med njegova najpomembnejša dela sodijo Arithmetica Universalis (1707) in Opticks (1704) ter Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (1687), ki velja za eno najpomembnejših del v zgodovini moderne znanosti.

     

     


     

    Viri:

    B. Artman; Euclid – The Creation of Mathematics, Springer-Verlag, 1999

    D. Gale; Tracking the Automatic Ant, Springer-Verlag, 1998

    E. Maor; e : The Story of a Number, Princeton University Press, 1994

    H. S. M. Coxeter; Introduction to Geometry, John Wiley & Sons, Inc., 1969

    P. J. Davis, R. Hersh: The Mathematical Experience, Birkhäuser, Boston, 1981

    W. S. Anglin; Mathematics: A Concise History and Philosophy, Springer-Verlag, 1994

    Enciclopedia Britannica, CD98

    Raising public awarness of Mathematics, CD2000, Centre for the Popularisation of Mathematics: Ronnie Brown

    History of Mathematics archive: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/

     


    Pripravil: Damjan Kobal, Oddelek za matematiko, Fakulteta za matematiko in fiziko, Univerza v Ljubljani, 2001


    © 2001 Damjan Kobal