FMF seminar za učitelje matematike, januar 2024, letnik 2023/24

Realne funkcije so eden najosnovnejših matematičnih objektov. S funkcijami ene spremenljivke se srečamo že v osnovni šoli, do konca gimnazije pa jih ob primernih lastnostih znamo precej natančno analizirati. Pri tem je domena funkcije bolj stranskega pomena in ker v primeru funkcij ene spremenljivke ne more biti posebej zanimiva množica, to ni presenetljivo. A ker je domena vedno homeomorfna grafu funkcije, se v primeru splošnega prostora X in realne funkcije f na njem lahko vprašamo, kakšne informacije o X nosi f. Bolj natančno, ali lahko iz (analitičnih) lastnosti funkcije f kaj izvemo o lastnostih prostora X? Kako uspešni smo lahko pri tem, je seveda odvisno od tipa prostora X in od ustrezne izbire funkcije f.

Če je število sodo, ga razpolovimo. Če je liho, ga pomnožimo s \(3\) in prištejemo \(1\). Postopek nadaljujemo. Zdi se, da prej ali slej v vsakem primeru dosežemo \(1\). To je še nedokazana domneva...

Gibanje dveh teles pod vplivom medsebojne gravitacijske sile je klasični problem, okrog katerega se je stoletja razvijalo reševanje diferencialnih enačb. V predavanju bomo tematiko razširili na posebne primere problema več teles in upoštevanje dodatnih sil, od različnih vrst pogona do vplivov svetlobnega tlaka. Rezultat so rešitve, ki omogočajo cenejše in natančnejše potovanje po Osončju, boljše razumevanje medsebojnih vplivov med telesi in doseganje boljših opazovališč za opazovanje bližnjega in daljnjega vesolja.

Z uporabo razumevanja preprostih neenačb se bomo lotili nekaterih elementarnih geometrijskih problemov. Na primer: brez diferencialnega računa bomo poiskali glede na prostornino največji valj, ki je včrtan pokončnemu stožcu.

Na predavanju bomo pogledali nekaj tem oz. nalog na temo polinomov, ki jih lahko uporabimo na krožku. Med drugim bomo reševali konkretne kubične enačbe. Le zakaj Cardanove formule niso v učnem načrtu gimnazij? Po predavanju bomo poznali odgovor.

Nekaj homogenih tulcev v obliki prevrtanega valja (različnih dolžin in mas) povežemo tako, da skoznje napeljemo tanko vrvico. Krajišče prvega in zadnjega tulca pritrdimo in sistem tulcev spustimo, da prosto visi. Zanima nas oblika povezanih tulcev. Problem bomo rešili s pomočjo iskanja vezanega ekstrema funkcije več spremenljivk. Najprej si bomo pogledali rešitev za poseben primer treh tulcev, nato natančneje razdelali nalogo v primeru poljubnega števila tulcev. Presenetljivo se izkaže, da z upoštevanjem vseh lastnosti na koncu pridemo do reševanja... Več pa na seminarju.