FMF seminar za učitelje matematike, arhiv, letnik 2018/19

Učitelji matematike imamo za prikaz čarobnosti matematike veliko možnosti, saj se matematika skriva povsod okoli nas in prav v vsakem učnem predmetu. Tako imamo veliko možnosti medpredmetnega povezovanja in uporabe v vsakdanjem življenju. Predavanje bo razkrilo nekaj povezav med matematiko in glasbo. Matematika in glasba imata veliko skupnega - za obe po celem svetu uporabljamo enake simbole in pri obeh je za napredovanje potrebno veliko vaje. Pri obeh vedah občudujemo genialce. Lepoto matematike lahko učencem in dijakom z glasbenim znanjem (ali/in s pomočjo učitelja glasbe) približamo v poglavjih Realna števila, Statistika, Verjetnost, Toge preslikave, Podobnost in Kotne funkcije. Tematika je bila predstavljena že v članku Matematika na konservatoriju za glasbo, objavljenem v 2. številki XXIII. letnika revije Matematika v šoli. Na predavanju bomo lahko prisluhnili tako besedam kot govorici glasbe.

Gradiva:
Zapiski s predavanja
Učni list - Marko skače
Marko skače - 'retrokanon'
Marko skače - 'retroretrokanon'
Marko skače - 'propokanon'

Diferencialne enačbe so najpomembnejše orodje, s katerim fiziki in matematiki poskušajo opisovati in tudi razumeti različne pojave in procese v realnem svetu. Uporaba diferencialnih enačb je v fiziki in v drugih vejah znanosti prinesla ogromen napredek pri razumevanju sveta okoli nas. Kot vsaka, pa ima tudi teorija diferencialnih enačb pomembne omejitve pri doseganju svojih ciljev. Prva omejitev je dejstvo, da znamo analitično rešiti le nekaj diferencialnih enačb, večine pa ne. Zato si pomagamo z diferenčnimi enačbami, s katerimi lahko smiselno nadomestimo diferencialne, poleg tega pa jih lahko s pomočjo računalnikov uspešno rešujemo. Vendar s tem problemov ni konec. Velikokrat se rešitve diferenčnih oz. diferencialnih enačb, ki naj bi opisovale neki proces v realnosti, povsem razlikuejo od tega, kar se v resnici zgodi. Primer takega razhajanja so velikokrat vremenske napovedi (naj meteorologi ne zamerijo).

V predavanju bomo najprej omenili nekaj osnovnih pojmov teorije diferencialnih in diferenčnih enačb. Nato pa si bomo na enostavnem primeru pogledali vzrok za drugo zgoraj omenjeno težavo, ki tare meteorologe in mnoge druge znanstvenike. Ta vzrok onemogoča uspešno napovedovanje prihodnosti tudi za mnoge bistveno bolj preproste sisteme, kot je vreme.

Z razvojem demokracije se je kot njen sestavni del vse bolj razvijala tudi institucija ustavne presoje. Vse demokratične države danes poznajo takšno ali drugačno obliko te institucije. Najbolj tipičen primer je ustavno sodišče. Brez ustavne presoje demokracije ne more biti, toda po drugi strani se zdi, da je ideja odločanja peščice pravnikov, ki na volitvah niso voljeni, bolj blizu oligarhiji kot pa samovladi ljudi - demokraciji. Je mogoče razrešiti to očitno nasprotje in če, kakšno vlogo naj Ustavno sodišče v demokraciji sploh ima? O teh dilemah se bomo pogovarjali z vidika aktualnih vprašanj, kot se vselej pojavljajo tudi v slovenskem javnem prostoru, prav tako pa ne bo izostal neposreden uvid v proces odločanja slovenskega Ustavnega sodišča.

Ta globoka pravna in politična vprašanja so navidez precej nepovezana z (matematičnim) izobraževanjem, v svojem bistvu pa podobno kot matematično razmišljanje temeljijo na doslednosti logičnega argumentiranja in še bolj na dojemanju kompleksnosti pomenov in dilem (pravnih) definicij.

Začeli bomo s kratkim pregledom gimnazijske statistike. Nato bomo med drugim pogledali definicijo regresijske premice. To je premica, ki kar najbolje opiše dane točke v ravnini. Kaj pomeni "kar najbolje"? Trenutno najbolj uporabljan odgovor na to vprašanje je: "po metodi najmanjših kvadratov". A obstajajo še drugi odgovori, ki dajo zanimive in elegantne rešitve.

Gradivo.

Matematične situacije in dileme presenetljivo pogosto najdejo svoje analoge v umetnosti. Na to temo obstajajo poglobljene in odmevne knjige, na primer s Pulitzerjevo nagrado ovenčana knjiga Gödel, Escher, Bach avtorja Douglasa Hofstadterja. Po drugi strani matematiki s svojim pogledom na svet pri določenih skupinah ljudi najdemo tako rekoč samoumevno potrditev, pri drugih pa smo deležni tihega in vztrajnega zavračanja. Na prvi pogled presenetljivo se umetniki – glasbeniki, slikarji, literati po mojih izkušnjah praviloma uvrščajo v prvo skupino.

Na predavanju bomo poskusili ilustrirati in pojasniti omenjena opažanja. Na primerih bomo predstavili nekatere izkušnje, analogije in vzporednice. Navedimo jih nekaj. Vzpodbujanje ali zavračanje osebnega pogleda v razumevanje matematičnega oz. umetniškega dela. Potreba po vaji, vežbanju. Glasbene in matematične etide. Iskanje bistva. Povezovanje emocij in intelekta. Notranja potovanja: kdo potuje in kdo ostaja doma. Stiska ob iztekajočem se času. Dejansko in deklarativno mojstrstvo. Spoštovanje velikanov.

(Povezave uporabljene na predavanju. Pptx gradivo lahko dobite, če pišete na e-naslov.)

Na seminarju bomo spoznali na videz zapleteno igro Kitajski obroči. Videli bomo, da lahko igro s pravim matematičnim pristopom zelo dobro razložimo. Spoznali bomo tudi nekatera zanimiva zaporedja, ki jih igra poraja.

Predstavili bomo paradoks rojstnega dne in še nekatere druge paradokse iz elementarne verjetnosti.

Če želimo nekomu razložiti pomen matematike v ekonomiji, slej ali prej trčimo tudi ob ime John Forbes Nash. Leta 2015 umrli matematik je namreč eden tistih, ki so bili za svoj doprinos znanosti nagrajeni z Nobelovo nagrado za ekonomijo, s filmom 'Čudoviti um' pa je pred leti postal tudi del pop kulture. Najbolj znan termin, povezan z njim je tako imenovano Nashevo ravnovesje, ki v teoriji iger predstavlja tako izbiro strategij, v kateri so igralci, upoštevajoč odločitve ostalih, s svojim izidom maksimalno zadovoljni. Kakorkoli, eksaktna formulacija ravnovesja je za povprečnega učenca prezahtevna, zato si bomo ogledali njeno poenostavitev, ki jo je v nekaterih enostavnih situacijah mogoče obravnavati zgolj z logiko in brez posebnega predznanja. Ker taka teorija že sama po sebi omogoča tudi empirično preizkušanje ter navezavo na nekatere življenjske situacije, bomo tako prišli do vsebine, ki je lahko odlična popestritev pouka matematike ali zanimiva tema raziskovalne naloge. (Gradivo (pptx) lahko dobite, če pišete na e-naslov)

Spoznali, reševali in komentirali bomo zanimive (grafične) uganke. Za različnimi fasadami se včasih skriva isto bistvo. Preproste in nazorne uganke, zapleteni modeli induktivnega in deduktivnega mišljenja (v matematiki) ali ustvarjalni crédo 'Saper Vedere' (Leonardo da Vinci) odražajo isti vzgib človeškega razuma ali celo zavesti in poslanstva. To je razumeti (navidezni) kaos in ga razložiti/urediti.

Poznamo veliko kombinatoričnih formul, v katerih je moč neke množice izražena kot determinanta. Izkaže se, da se v ozadju takih formul pogosto skriva preprost, a močan rezultat, Gessel-Viennotova lema. Ogledali si bomo dokaz te leme in več primerov, npr. izrek o številu vpetih dreves, formulo za število permutacij z določenim številom padcev itd.

V uvodnem delu bo na kratko predstavljena kratka zgodovina matematike na Kitajskem. Matematično znanje bo ilustrirano z zbirko nalog, vzeto iz dvanajstih klasičnih knjig, s pomočjo katerih so na imperialni akademiji okrog leta 600 poučevali matematiko. Veliko nalog še vedno predstavlja zanimiv matematični izziv za današnje srednješolce in vse, ki imamo radi elementarno matematiko.

Ob elementarnih matematičnih izzivih, ki se obravnavajo tudi v okviru SŠ pouka, bomo razmišljali, kako ob pozornem opazovanju in razmišljanju pomeni in vsebine postajajo globlji in zanimivejši.