FMF seminar za učitelje matematike, arhiv, letnik 2020/21

V kombinatoriki poznamo nekaj presenetljivih objektov, ki s svojimi nenavadnimi lastnostmi vedno znova presenetijo tudi najizkušenejše raziskovalce tega področja. Tokrat bo rdeča nit predavanja Fanova ravnina - najmanjša končna projektivna ravnina, ki je tesno povezana z pravljičnima številoma 3 in 7. Ogledali si bomo prgišče zgodb, v kateri Fanova ravnina nastopi kot Superjunak v različnih preoblekah.

Konstruktibilne točke tvorimo tako, da začnemo z dvema točkama na ravnini. V naslednjem koraku z ravnilom narišemo vse premice, ki potekajo skozi vsaj dve od predhodno konstruiranih točk, s šestilom pa vse krožnice, ki imajo središče v eni od točk in vsebujejo še eno od točk. V drugem koraku tako dobimo 6 točk (prvotni dve in še štiri presečišča med dvema krožnicama in premico). V tretjem koraku dobimo 203 točke. Katero število dobimo v čertem koraku? Hitro vidimo, da je število zelo veliko in da ga ne moremo kar tako stresti iz rokava. Pomagamo si lahko z računalniki, a moramo pred tem spoznati še konstruktibilna števila in postopke za računanje z njimi.

Hoja je ena izmed osnovnih oblik človekovega gibanja. Hoja na dolge razdalje je obenem sproščujoč proces v naravnem okolju, hkrati pa se z naraščajočim številom kilometrov pojavljajo situacije, kjer posameznik trči ob svoje psiho-fizične omejitve, spozna lastno delovanje v težkih okoliščinah, načine reagiranja in premagovanja težav.
Raziskovanje meja na področjih umskih, psihičnih in fizičnih sposobnosti je ključni faktor vzgoje in samovzgoje. Vztrajnost in samodisciplina sta temeljni vrednoti za premagovanje strahu in preprek do uspešnejšega življenja, pa naj gre za športne cilje, za délavne načrte ali za učenje matematike.
V Vzgojnem zavodu Kranj z mladimi z motnjami vedenja in čustvovanja že od leta 2013 izvajamo Pohod Alpe-Adria. Udeleženci pohoda v šestih dneh premagajo razdaljo okoli 180 kilometrov od Kranja do Pirana. Pri tem pri mladih opazimo številne pozitivne psiho-fizične učinke in velik upad destruktivnih vedenj.

Vsi vemo, da lahko plašč kocke zlepimo iz šestih kvadratov oz. iz dvanajstih trikotnikov. Pravimo, da smo plašč triangulirali. Vsi tudi vemo, da so topologi tisti čudaki, ki ne ločijo med plaščem kocke in plaščem krogle - zanje je oboje sfera - zato triangulacijo plašča kocke razumejo kot triangulacijo sfere (seveda, z ukrivljenimi trikotniki). Taka triangulacija ni prav učinkovita, sfero lahko trianguliramo tudi z le štirimi trikotniki, kot npr. pri plašču tetraedra. Z manj kot štirimi trikotniki pa očitno ne gre (je res očitno?). Nekoliko težje se je prepričati, da je za podobno triangulacijo torusa potrebnih vsaj sedem trikotnikov. Kaj pa pri ostalih ploskvah?

Na predavanju se bomo naučili kako lahko sistematično trianguliramo ploskve in kaj se da povedati o optimalnih triangulacijah. Če bo dovolj časa, si bomo ogledali tudi problem optimalnih triangulacij večrazsežnih mnogoterosti.

Eksponentna porazdelitev je ena najpogosteje opazovanih verjetnostnih porazdelitev. Pogledali si bomo, kje jo lahko najdemo, kakšne ima lastnosti ter kaj te lastnosti pomenijo. Raziskali bomo, s katerimi porazdelitvami je še v posebej tesnem sorodstvu. Na koncu bomo omenili tudi njen pomen pri markovskih verigah v zveznem času. Predavanje bo izdatno podprto s primeri. Poleg tega bomo poskusili izvesti čim več praktičnih poskusov. (Zapiski s predavanj, Mathematica zvežčič.)

Emmy Noether je bila ena osrednjih matematičnih osebnosti prve polovice dvajsetega stoletja. V svojem delu je sistematično dajala prednost pojmom pred računanjem in je tako bistveno prispevala k rojstvu 'moderne algebre'. Nekoliko manj znan je njen vpliv na razvoj topologije, ki je bila takrat še v povojih. Pa vendar je, kot je nekoč zapisal S. MacLane, topologija postala algebraična z (Leopoldom) Vietorisom in z (Emmy) Noether. (Gradivo.)

Verjetno se vsakdo spominja preprostih rekurzivnih enačb, vsaj iz časa študentskih dni. In verjetno tudi marsikdo ve, da je rešitev enačbe \(c_{n+1} = p\cdot c_n+ q\cdot c_{n-1}\), pri nekih začetnih pogojih, oblike \(a\cdot x_1^n+b\cdot x_2^n\) pri čemer sta \(x_1\) in \(x_2\) rešitvi pripadajoče karakteristične enačbe \(x^2- p\cdot x- q=0\), če \(D\ne 0\). Toda zakaj je to tako? Na faksu so to utemeljevali s pojmi iz linearne algebre. Vse prav, toda kako prepričati gimnazijca, da je res tako? Z vektorskimi prostori?! (Gradivo.)

Obravnavali bomo Gaussova praštevila ter kako si z njimi pomagamo pri obravnavi obstoja magičnega kvadrata reda 3, v katerem so vsa števila popolni kvadrati. (Gradivo.)

Ogledali si bomo nekaj zanimivih kombinatoričnih in praktičnih problemov, v katerih Fanova ravnina igra pomembno vlogo.

Vsem dobro znano Fibonaccijevo zaporedje je podano z rekurzivno zvezo \(F_n=F_{n-1}+F_{n-2}\) za \(n\geq 2\) in začetnima členoma \(F_1=F_2=1\). Z zelo enostavno vendar suhoparno uporabo matematične indukcije se da hitro dokazati, da za \(n\in \mathbb N\) velja \(F_n=\frac{1}{\sqrt 5}\left(\frac{\sqrt 5+1}{2}\right)^n-\frac{1}{\sqrt 5}\left(\frac{1-\sqrt 5}{2}\right)^n\). Ogledali si bomo, kako s pomočjo ustrezne matrike in osnovne uporabe linearne algebre izračunamo splošni člen Fibonaccijevega zaporedja. Ta metoda je zelo uporabna za dokaz nekaterih zanimivejših dobro znanih enakosti kot sta naprimer Cassinijeva in d'Ocagneova enakost. (Gradivo.)

Po hitrem sprehodu skozi Plemljevo življenje se bomo posvetili dvema matematičnima problemoma, ki sta zanimala Plemlja v času gimnazijskega šolanja.