FMF seminar za učitelje matematike, arhiv, letnik 2023/24

Za zahtevne matematične koncepte je pogosto težko najti primerno motivacijo. Verjetno je za to najbolj učinkovita metoda, ki s pomočjo zanimivih problemov privede do živahne razprave. Predstavili bomo tri takšne matematične probleme iz različnih področij matematike: kardinalnost množic v povezavi z aksiomom izbire, logika v povezavi z indukcijo ter kombinatorika v povezavi z razcepom permutacij na produkt ciklov.

Razmišljali bomo o globokih miselnih vsebinah, ki jih zaobjemata pojma analogija in posploševanje. S povsem analognim razmišljanjem kot v primeru preprostih ničel polinoma pridemo do globokih matematičnih vsebin Cayley-Hamiltonovega izreka. Razmišljali bomo tudi o analogijah in podobnostih naravnega ter matematičnega jezika. (Gradivo.)

Ob temeljnih problemih in izzivih sodobnega poučevanja bomo razmišljali o učiteljskem delu, odgovornostih in pristojnostih. Izmenjali bomo izkušnje in ideje o tem, kaj je v naših močeh, česa ne moremo spremeniti (sami) in kako odgovorno postaviti mejo med prvim in drugim. (Gradivo.)

Računski mehanizmi so mehanske naprave, ki so se uporabljale za reševanje matematičnih problemov pred pojavom sodobnih elektronskih računalnikov. Zelo enostaven primer računskega mehanizma je šestilo, ki zelo enostavno in hitro reši problem konstrukcije množice točk, ki so enako oddaljene od izbrane točke. Ogledali si bomo razvoj in uporabo raznovrstnih računskih mehanizmov in opisali ključno vlogo poznavanja geometrije pri razvoju tovrstnih mehanizmov. Razviden bo širok razpon problemov, ki jih lahko rešimo s pomočjo računskih mehanizmov, saj kljub temu, da gre za mehanske naprave, obstajajo celo mehanizmi, ki izračunajo nedoločeni integral poljubne funkcije. V nadaljevanju bomo predstavili mehanizem, ki omogoča enostavno krmiljenje kompleksnih vozil s priklopniki, kot so npr. traktorji in tovornjaki. Nazadnje bomo še ovrednotili pomen računskih mehanizmov v današnjem času. Razvidno bo, da je ideja mehanskega računanja še zelo živa, ker zaradi enostavnosti in hitrosti računanja predstavlja pomemben konceptualni okvir pri razvoju učinkovitejših nevronskih mrež in pametnih materialov. (Gradivo.)

Trenje matematičnih orehov je (bilo) moje veselje od malega. Imel sem srečo z učitelji, ki so znali razpihati iskro navdušenja. Kljub temu mi ni bilo vseeno za nekatere zdolgočasene sošolce. In priznam, da sem se ne tako poredko dolgočasil tudi sam … Na tem predavanju bi rad predstavil nekaj drobnih »zamer«, ki jih gojim do gimnazijskih ur matematike in učnega načrta, ter nekaj predlogov, kako pouk popestriti in srednješolsko matematiko povezati z življenjem izven učilnice. (Gradivo.)

V zadnjih letih matematika in matematično mišljenje pridobivata sloves tudi v popularni kulturi. Skupaj z igralcem in TV voditeljem Nikom Škrlecem, nekdanjim rekorderjem v recitiranju decimalk števila pi, si bomo najprej ogledali nekaj najbolj znanih primerov iz popularne kulture (serije, filmi in spletne vsebine), potem pa nadaljevali razpravo o popularizaciji matematike in matematičnega mišljenja ter skupaj razbijali mite zahtevnosti in nedostopnosti. Nik ni matematik, vendar sam zase pravi: "V preteklih desetih letih sem znatno izboljšal svoje matematično znanje. Zaradi recitiranja decimalk števila pi, veliko ljudi zmotno domneva, da obvladam matematiko in posledično z mano delijo kakšne zanimivosti, naloge in uganke. Prav zaradi teh pa lahko rečem, da se moje znanje razvija!" (Gradivo.)

Realne funkcije so eden najosnovnejših matematičnih objektov. S funkcijami ene spremenljivke se srečamo že v osnovni šoli, do konca gimnazije pa jih ob primernih lastnostih znamo precej natančno analizirati. Pri tem je domena funkcije bolj stranskega pomena in ker v primeru funkcij ene spremenljivke ne more biti posebej zanimiva množica, to ni presenetljivo. A ker je domena vedno homeomorfna grafu funkcije, se v primeru splošnega prostora X in realne funkcije f na njem lahko vprašamo, kakšne informacije o X nosi f. Bolj natančno, ali lahko iz (analitičnih) lastnosti funkcije f kaj izvemo o lastnostih prostora X? Kako uspešni smo lahko pri tem, je seveda odvisno od tipa prostora X in od ustrezne izbire funkcije f.

Če je število sodo, ga razpolovimo. Če je liho, ga pomnožimo s \(3\) in prištejemo \(1\). Postopek nadaljujemo. Zdi se, da prej ali slej v vsakem primeru dosežemo \(1\). To je še nedokazana domneva...

Gibanje dveh teles pod vplivom medsebojne gravitacijske sile je klasični problem, okrog katerega se je stoletja razvijalo reševanje diferencialnih enačb. V predavanju bomo tematiko razširili na posebne primere problema več teles in upoštevanje dodatnih sil, od različnih vrst pogona do vplivov svetlobnega tlaka. Rezultat so rešitve, ki omogočajo cenejše in natančnejše potovanje po Osončju, boljše razumevanje medsebojnih vplivov med telesi in doseganje boljših opazovališč za opazovanje bližnjega in daljnjega vesolja. (Gradivo.)

Z uporabo razumevanja preprostih neenačb se bomo lotili nekaterih elementarnih geometrijskih problemov. Na primer: brez diferencialnega računa bomo poiskali glede na prostornino največji valj, ki je včrtan pokončnemu stožcu. (Gradivo.)

Na predavanju bomo pogledali nekaj tem oz. nalog na temo polinomov, ki jih lahko uporabimo na krožku. Med drugim bomo reševali konkretne kubične enačbe. Le zakaj Cardanove formule niso v učnem načrtu gimnazij? Po predavanju bomo poznali odgovor. (Gradivo.)

Nekaj homogenih tulcev v obliki prevrtanega valja (različnih dolžin in mas) povežemo tako, da skoznje napeljemo tanko vrvico. Krajišče prvega in zadnjega tulca pritrdimo in sistem tulcev spustimo, da prosto visi. Zanima nas oblika povezanih tulcev. Problem bomo rešili s pomočjo iskanja vezanega ekstrema funkcije več spremenljivk. Najprej si bomo pogledali rešitev za poseben primer treh tulcev, nato natančneje razdelali nalogo v primeru poljubnega števila tulcev. Presenetljivo se izkaže, da z upoštevanjem vseh lastnosti na koncu pridemo do reševanja... Več pa na seminarju. (Gradivo.)