FMF seminar za učitelje matematike, arhiv, program 2025/26

Razčlenitev ali particija naravnega števila \(N\) je zaporedje padajočih naravnih števil, katerih vsota je enaka \(N\). Na množici vseh razčlenitev naravnega števila \(N\) bomo definirali urejenost in z njeno pomočjo odgovorili na naslednji problem: ali je mogoče na nekatera polja šahovnice položiti po en kovanec tako, da bo imela imela šahovnica v vsaki vrstici in vsakem stolpcu vnaprej predpisano število kovancev? (Gradivo.)

Najprej majhen preizkus: narišimo (npr. s pomočjo GeoGebre) graf funkcije \(f(x,y)=\frac{x |x|-y |y|}{x-y}\) in ga presekajmo z ravnino \(x=y\). Ali prepoznamo presečno krivuljo? Nekatere pojme smo premislili in predelali že tolikrat, da nas težko kaj preseneti. Ali lahko sploh zvemo kaj novega o navadnem odvodu funkcij ene spremenljivke? Na predavanju bomo predstavili majhno variacijo običajne definicije odvoda. Pokazali bomo, da lahko na podlagi nove definicije bolj nazorno opišemo pojem odvedljivosti in utemeljimo povezavo med odvedljivostjo in zveznostjo. Preprostejše so tudi izpeljave večine formul, ker se lahko izognemo eksplicitnemu računanju limit, ki je za večino dijakov (in za mnoge študente) prezahtevno. Četudi ni verjetno, da bi se uveljavljeno razlaganje odvodov kdaj zares spremenilo, vseeno upamo, da bo alternativni pogled razkril še kak nov odtenek v razumevanju tega pojma. Če ostane kaj časa, bomo razložili še, zakaj, natančno fizikalno gledano, hitrost in pospešek nista odvoda lege oz. hitrosti po času. (Gradivo; povezava na članek sorodne vsebine.)

Pogovor bo tekel o zdravem dvomu, zdravem in varnem okolju za delanje napak, o zdravi kmečki pameti – skratka o zdravju. Razkrilo se bo deset zapovedi o učenju, pardon podajanju snovi, pardon, opolnomočenju – skratka pardon. Govorili bomo o stvareh, ki so vsem jasne, o katerih sploh ni potrebno razpravljati in izgubljati besed, pa bomo morda o njih kasneje le več razmišljali. Ne bo pa govora o teorijah zarot morda le nekaj malega o telekinezi. Pridite, skupaj premikajmo meje!

Znana in na videz povsem absurdna formula pravi \(1+2+3+\cdots = -\frac{1}{12}\). Je mogoče tak nesmisel osmisliti? Je to mogoče storiti tudi brez zapletenih kompleksnih orodij? Ob raznolikih primerih bomo poskušali osmisliti različne poglede na pojem konvergence sicer misterioznih neskončnih vrst in tako prišli tudi do zelo nenavadnih zaključkov, ter se ob teh spoznanjih spoprijeli tudi z velikanom, ki v okviru teh konceptov predstavlja vsoto vseh naravnih števil. (Povezava na članek sorodne vsebine enega najuglednejših živečih matematikov in dobitnika Fieldsove medalje 2006, Terenca Taa.)

Matrike imajo široko uporabo na različnih področjih matematike in drugod. Z matrikami velikosti 2x2 na primer lahko predstavimo nekatere transformacije ravnine, kot so rotacije, raztegi in projekcije. Množenje matrik ustreza sestavljanju takih transformacij. Kot vemo, množenje matrik ni komutativno, produkt dveh matrik AB ni nujno enak produktu v obratnem vrstnem redu BA. Graf komutativnosti nam opiše, kdaj matrike komutirajo in kdaj ne. Pogledali si bomo številne primere. (Gradivo.)

V družabnih igrah pogosto nastopajo matematični problemi, ki so včasih tudi malo prikriti. Ogledali si bomo nekaj primerov, kje najdemo matematiko, ter kakšna matematika je to. Morda presenetljivo že v najbolj popularnih in enostavnih igrah srečamo teorijo verjetnosti, teorijo grafov, kombinatoriko, odločitveno teorijo, pa tudi tako globoke teme kot so projektivne ravnine v geometriji. (Gradivo.)

Izračunali bomo število permutacij n-tih elementov, ki nobenega ne ohranijo. Ogledali si bomo momente (to je, pričakovane vrednosti potenc) diskretne slučajne spremenljivke, ki ob danem naravnem številu n predstavlja število fiksnih točk permutacije n-tih elementov. Na koncu bomo vpeljali še Stirlingova števila druge vrste ter Bellova števila in pojasnili, kako so povezana z našim problemom. (Gradivo.)

V medijih pogosto beremo, da so kvantni računalniki hitri, ker jim kvantna superpozicija omogoča, da so v več stanjih hkrati, s čimer lahko izračunajo vse možne rezultate v enem samem koraku. Kot bomo videli, stvari niso tako preproste, saj se kvantni svet obnaša tudi tako, da na koncu lahko preberemo le enega od vseh rezultatov, pa še ta je naključno izbran. Da bi vseeno pripravili računalnik do tega, da izračuna rezultat, ki si ga želimo, moramo biti malo bolj zviti in uporabiti interferenco, s katero se neželeni rezultati med seboj izničijo. Na predavanju bomo spoznali nenavadne vidike kvantnega sveta ter si ogledali Groverjev algoritem za iskanje igle v kopici sena (natančneje, zaporedja bitov, za katerega dana funkcija vrne 1) in Shorov algoritem za razcep na praštevila. (Gradivo, Mathematica zvezek.)

... šele zadnja leta zares odkrivam, kaj vse mi je FMF dala kot življenjsko popotnico ...

Spoznali bomo Spernerjevo lemo in pokazali, kako jo lahko uporabimo za dokaz Brouwerjevega izreka o negibni točki v dveh dimenzijah. (Gradivo.)

Skozi praktične primere si bomo ogledali kako merimo količino informacij, kaj je entropija in kako v vsakdanjem življenju uporabljamo relativno entropijo. V posebnem primeru, katerega bomo seveda tudi obravnavali, bo relativna entropija, kot je omenjena v prejšnjem stavku, predstavljala delež dolžine stavka, potencialno podanega v povzetku kakšnega matematičnega predavanja, za katerega bi lahko stavek, ki smo ga ravnokar omenili, skrajšali, pri čemer bi, kot je seveda pričakovati, hoteli s krajšim stavkom, prav tako omenjenim zgoraj, podati enako količino informacij, kot s prvotno omenjenim čudovitim a potencialno dolžinsko preambicioznim stavkom. (Gradivo.)

Dne 14. 1. 2026 je našo fakulteto obiskala astronavtka indijsko-slovenskega porekla Sunita Williams. Ob obisku smo videli zanimiv povzetek življenja na mednarodni vesoljski postaji ISS. Ob nekaj drugih zanimivostih, povezanih z ISS, si bomo pogledali posnetek obiska. (Gradivo.)