FMF seminar za učitelje matematike, arhiv, letnik 2019/20

Delitelji niča v kolobarju so elementi, ki se s kakim neničelnim elementom kolobarja zmnožijo v 0. Izkaže se, da število deliteljev niča v končnem kolobarju lahko pomembno vpliva na strukturo kolobarja samega. V predavanju si bomo ogledali zakaj mora kolobar s končnim številom neničelnih deliteljev niča tudi sam biti končni kolobar in poiskali zgornjo mejo za število vseh njegovih elementov. Poleg tega si bomo v primeru končnega kolobarja ogledali zvezo med levimi in desnimi delitelji niča in si ogledali lastnosti kolobarja, v katerem je natanko polovica elementov deliteljev niča.

Na predavanju bomo spoznali uporabo parametrično podanih krivulj v praktičnih aplikacijah. Seznanili se bomo s posebnimi polinomskimi krivuljami, imenovanimi Bezierjeve krivulje, ki so osnovno orodje v računalniško podprtem geometrijskem oblikovanju. Odvisne so od izbire kontrolnih točk, ki določajo njihovo obliko. Naučili se bomo računati točke na Bezierjevi krivulji z uporabo numerično stabilnega algoritma, videli pa bomo tudi, kako lahko posamezne Bezierjeve krivulje združimo v zlepek, s katerim se da opisati poljubno zapletene oblike. Zapiski s predavanja.

S tehnikami integriranja (s predpisom podanih) funkcij se srečamo že v srednji šoli. Hitro spoznamo, da (nedoločenih) integralov že zelo preprostih funkcij ne znamo izraziti z elementarnimi funkcijami. Posledično ne znamo izračunati analitične vrednosti določenega integrala. Zato moramo pogosto uporabiti numerične postopke za računanje njihovih približkov. V okviru predavanja bomo spoznali nekaj osnovnih pristopov numeričnega računanja integralov in si ogledali primere uporabe. Zapiski s predavanja.

Ponovili bomo osnovne pojme o številskih vrstah in obravnavali Riemannov izrek o vrstah, ki v poenostavljeni formulaciji pravi, da je vsota vrste, ki ni absolutno konvergentna, lahko - karkoli. Prirejeno gradivo.

Ginijev koeficient je merilo za to, kako enakomerno oziroma neenakomerno je porazdeljen dohodek (ali premoženje) med populacijo. Zavzame vrednosti med 0 in 1, pri čemer nižji koeficient pomeni bolj enakomerno porazdelitev. Najprej bomo vpeljali Lorenzovo krivuljo, si ogledali njene lastnosti in potem definirali Ginijev koeficient.

V primeru, ko se želimo kot skupina odločiti glede določenih družbenih preferenc (lahko gre za volitve, za razdelitev omejenih sredstev med različne projekte, za izbiro kraja dopustovanja,...), pogosto pride do konfliktov, ker so seveda želje posameznikov lahko različne. Teorija socialne izbire se ukvarja točno s tem: kako posamezne preference preoblikovati v preferenco skupine. Predstavili bomo nekatere rezultate s tega področja (izrek Arrowa, Gibbard-Satterthwaitov izrek, liberalni paradoks), ki vsi nakazujejo na to, da pravičnega načina ni. Če bi se seveda znali dogovoriti, kaj pomeni pravično. Zapiski s predavanja.

Simetrije neke strukture geometrijskega objekta v ravnini merimo z avtomorfizmi, bijektivnimi preslikavami objekta vase, ki ohranjajo to strukturo. Glede na strukturo, ki jo opazujemo, se grupa avtomorfizmov spreminja. Več strukture zahtevamo, manjša bo grupa avtomorfizmov. Če geometrijski objekt vidimo le kot množico, potem bodo avtomorfizmi kar vse bijekcije objekta vase. Če nas zanima topologija objekta, bomo obravnavali homeomorfizme, in če dodamo pogoj odvedljivosti, opazujemo difeomorfizme. Na nasprotnem koncu struktur nas lahko zanima ohranjanje kotov in razdalj. V tem primeru imamo opravka z izometrijami. Če pa nas zanima le konformnost, ohranjanje kotov skupaj z orientacijo, obravnavamo holomorfne avtomorfizme. Za uvod so naravne domene holomorfnih avtomorfizmov odprte množice v kompleksni ravnini. Če pa želimo iz kompleksne ravnine izstopiti, pridemo do Riemannovih ploskev.

Dokaz s protislovjem se kot tehnika dokazovanja uporablja že v srednji šoli. Mnogi (tudi poklicni matematiki) pa ne razlikujejo med dokazom s protislovjem in dokazom negacije, saj sta si po svoji strukturi zelo podobna. Da bi ponazorili razliko med dokazovalnima tehnikama, si bomo pogledali preprosta srednješolska primera: Evklidov dokaz, da je praštevil neskončno, in dokaz iracionalnosti kvadratnega korena števila dva. Komentirali bomo, zakaj je razlika pomembna, kako se to pokaže v konstruktivni matematiki in dokazovanju s pomočjo računalnika ter zakaj in kako to predstaviti dijakom.

Na predavanju bomo z različnih zornih kotov obravnavali naslednjo trditev: Naj bosta \(f\) in \(g\) integrabilni funkciji na intervalu \([0,1]\), ki imata na tem intervalu integral enak 1. Potem obstaja tak pod-interval \(I\subset [0,1]\), da sta integrala \(f\) in \(g\) na \(I\) enaka \(\frac{1}{2}\). Spoznali bomo več njenih dokazov in posledic, od topoloških do kombinatoričnih ter do pravične delitve ogrlice.

Ko pomislimo na statistiko, je ena prvih asociacij Gaussova krivulja. Kdaj pa se Gaussova porazdelitev zares pojavi? Ob analizi dejanskih podatkov bomo spoznali, da so porazdelitve res precej pogosto podobne Gaussovi, včasih pa opažene porazdelitve od Gaussove precej odstopajo.

Kakšni mehanizmi torej pripeljejo do Gaussove porazdelitve? Izkaže se, da se porazdelitev zelo približa Gaussovi takrat, ko se sešteje veliko neodvisnih slučajnih vplivov. Preprost primer, ko dobimo dober približek Gaussove porazdelitve, je poskus, ko velikokrat vržemo kovanec in štejemo, kolikokrat je padel grb. Za tako preproste primere je mogoče približevanje Gaussovi porazdelitvi razmeroma lahko izpeljati. Ob različnih primerih pa lahko opazujemo tudi, kolikšna so odstopanja od Gaussove porazdelitve. Zapiski s predavanja.

Fiziki so izvorno odvode definirali s pomočjo neskončno majhnih sprememb količin ("diferencialov"). Čeprav fiziki še dandanes izpeljujejo (pravilne) formule z uporabo neskončno majhnih količin, pa te nimajo natančne definicije, nad čimer matematiki vihajo nos in odvod raje definirajo s pomočjo limite.

Na seminarju si bomo ogledali, kako je vendarle možno matematično definirati neskončno majhne količine, kakšno ceno plačamo za to ter kako je to povezano z matematičnimi temelji in logiko.

V razvoju avtomatiziranih prevoznih sredstev je potrebno avtomatizirati več procesov, kot so na primer, prepoznavanje prometnih znakov, zaznava udeležencev v prometu, predvidevanje obnašanja udeležencev v prometu, bočno parkiranje vozila,... Nekatere od teh procesov je mogoče enostavno avtomatizirati, drugi pa so takšni, da voznikom ne povzročajo nobenih težav, pa jih je kljub temu izredno težko avtomatizirati. Proces, ki bi večini voznikov predstavljal nerešljiv problem je vzvratna vožnja vozila z več priklopniki. Videli pa bomo, da ima ta proces, ki bi zahteval ogromno spretnost voznika, enostavno algoritmično rešitev. Proces vzvratne vožnje z več priklopniki bomo modelirali s sistemom linearnih diferencialnih enačb, nato pa bomo z analizo lastnih vrednosti tega sistema izbrali način vodenja vozila, ki bo vodil v stabilno vzvratno vožnjo. Zapiski s predavanja.