FMF seminar za učitelje matematike, arhiv, letnik 2022/23

Ogledali si bomo preprosto povezavo med usmerjenimi grafi in matrikami. Sprehode v grafu bomo šteli s pomočjo potenc matrike, nato pa v novem jeziku ubesedili in rešili (vsaj dva) problema s področja verjetnosti. (Nekaj opornih točk s predavanja.)

Ponovili bomo osnovne pojme funkcij, definiranih na različnih množicah v ravnini in z vrednostmi bodisi v množici realnih števil, bodisi v ravnini. Nadalje se bomo posvetili kompleksnim funkcijam, natančneje, holomorfnim funkcijam. Spomnili se bomo nekaj njihovih osnovnih lastnosti in načinov kako jih lahko opišemo. Holomorfne funkcije lahko izrazimo tudi samo z njihovimi robnimi vrednostmi na robu območja D. Vprašali se bomo tudi obratno, kakšni pogoji zagotavljajo, da se funkcija, ki je definirana zgolj na robu območja D, razširi do holomorfne funkcije v notranjosti območja D. (Gradivo.)

Uvodna predavanja in knjige o kriptografiji z javnim ključem se ponavadi začnejo s kriptosistemom RSA, saj ga je v njegovi osnovni obliki tako lahko razložiti. Čeprav je množično uporabljen na internetu, ima kriptosistem RSA mnogo težav že v klasičnem smislu, povsem pa tudi podleže napadu s kvantnim računalnikom. V prvem delu delavnice si bomo podrobno ogledali kriptosistem RSA in nekaj njegovih zabavnejših šibkosti. V drugem delu bomo eno od šibkosti le malo spremenili in dobili kvantno težek računski problem, t.i. problem približnega največjega skupnega delitelja, ter na njegovi osnovi sestavili model post-kvantnega kriptosistema. (Gradiva.)

Spoznali bomo geometrijski koncept Voronojevih diagramov v ravnini, nekatere njihove lastnosti in uporabe. (Gradivo.)

Spletni velikani in nadzorniki kvalitete državnih cest, kot je Zavod za gradbeništvo (ZAG), redno slikajo državne ceste v Sloveniji. Pri obojih se na sliki znajdejo tablice vozil, pogosto pa tudi osebe, če se cesta vije skozi obljudenejše kraje. GDPR je avtorje fotografij spravil v neprijeten položaj, saj je treba obraze in tablice ustrezno zamegliti, količina slik pa je prevelika, da bi to počeli ročno. Ogledali si bomo, kako lahko težavo rešimo s strojnim učenjem. Ugotovili bomo, da je v ozadju metod pretežno odvajanje, opozorili na nekatere pasti pri učenju modelov in si seveda tudi ogledali rezultate. (Gradivo; in spletna varianta z delujočimi YouTube posnetki.)

Dnevnik Ane Frank je uvrščen na Unescov seznam svetovne kulturne dediščine (od 2009). Ima posebno mesto, ker gre za protivojno tematiko oz. tematiko holokavsta, ki jo je treba obravnavati v šoli, zlasti ker gre za avtentično pisanje otroka oz. najstnice od njenega 13. do 15. leta, in nenazadnje zato, ker gre za kakovostno literarno delo, s katerim je lik Ane Frank postal simbol otroka in otrokovih pravic, še posebej v razmerah druge svetovne vojne, v kateri je umrlo več kot 1,5 milijona otrok. Tako kot je lik Pike Nogavičke postal simbol otrokovih pravic v povojnem času (1945), sta oba literarna dokumenta spodbujala nastajanje Deklaracije o otrokovih pravicah (1959) in Konvencije o otrokovih pravicah (1989).
Ali to, da tako vsebinsko bogat in izpovedno močan dnevnik Ane Frank ne najde mesta v šolskih programih, pomeni, da so skupni imenovalci naše vzgoje in izobraževanja napačni? (Gradivo.)

Nekatere matematične uganke so primerne za splošno publiko in jih urednica oddaje Ugriznimo znanost odobri. Nekatere druge so prelahke in se jih zavrže. Preostale so pretežke, saj jih lahko rešimo le s poznavanjem matematike s konca srednje šole ali začetka študija. Nekaj takih bomo obravnavali in med drugim ugotovili, kako se v prelivanje vode prikradejo diofantske enačbe, kako se med klobuke vpletejo ekvivalenčne relacije in kako se v Igro lignja prikradejo cikli permutacij. (Gradivo.)

V industrijskih aplikacijah so Bezierjeve krivulje oz. pripadajoči Bernsteinovi bazni polinomi zelo pomembno orodje pri geometrijskem oblikanju zapletenih krivulj in pri numeričnih simulacijah različnih inženirskih problemov. V predavanju si bomo pogledali poslošitev teh konceptov na funkcije dveh spremenljivk nad pravokotnimi in trikotnimi domenami, s katerimi lahko opišemo fleksibilne ploskve v prostoru. Ogledali si bomo, kako definiramo take funkcije, kako z njimi računamo in kako skupaj lepimo take funkcije, da dobimo gladke zlepke. (Gradivo.)

V sedemdesetih letih preteklega stoletja je ameriški matematik in meteorolog Edward Norton Lorentz razvil model, s katerim je želel, ob podpori računalnika, napovedovati razvoj vremena. Ker so bile zmogljivosti takratnih računalnikov bistveno šibkejše, je svoje izračune pogosto ponovil in pri tem v model vstavil kar vrednost katere od kasnejših iteracij, da bi tako skrajšal čas računanja. Pri enem od tovrstnih preverjanj je med vnosom napravil manjšo zaokrožitveno napako. Ker je ta povzročila veliko odstopanje od pričakovane rešitve, je sprva posumil, da gre na računalniško napako. Ko pa je kasneje račun ponovil še nekajkrat, je presenečen ugotovil, da je njegov model močno občutljiv na začetne podatke. Tako je med prvimi odkril in opisal eno izmed osnovnih lastnosti kaotičnih sistemov, ki jo je opisal s slikovito metaforo: "Gre za sistem, pri katerem lahko utrip metuljevih kril sredi Brazilije povzroči tornado v Texsasu." Kljub dejstvu, da je bilo kasneje ugotovljeno, da njegov model nima velike uporabne vrednosti in da vreme vendarle ni tako zelo spremenljivo, je njegova metafora postala stalnica v teoriji kaosa, fenomen, ki ga v matematični popkulturi imenujemo učinek metulja (ang. Butterfly Effect), pa je prijadral celo do Hollywooda. V okviru predavanja bomo ta fenomen opazovali na primeru preprostih rekurzivnih zaporedij, ki so lahko razumljiva že srednješolcem, pri raziskovanju pa si bomo pomagali z dvojiškim decimalnim zapisom in pajčevinastimi diagrami izdelanimi v GeoGebri. Tako bomo prišli do vsebine, ki je lahko odlična popestritev dodatnega pouka iz matematike ali zanimiva tema raziskovalne naloge. (Gradivo.)

Rešitve nelinearnih enačb, ki jih ne znamo izraziti v zaključeni obliki, lahko poiščemo numerično. Ogledali si bomo različne strategije, s katerimi lahko z računalniškim programom izračunamo približke, ki se natančno ujemajo s točnimi rešitvami. Tovrstne strategije običajno temeljijo na iterativnem računanju približkov, pri čemer vsak naslednji približek popravi prejšnjega. Izpeljali bomo nekaj klasičnih metod in analizirali, kako hitro in zanesljivo nam priskrbijo uporaben približek. (Gradivo.)

V odločevalskih telesih, ki so sestavljeni po načelih sorazmernosti, na primer v skupščinah delničarjev, v Državnem zboru RS ali v Varnostnem svetu OZN, število glasov deležnika (delničarja, stranke, države), ne pomeni kar direktno njegove volilne moči. Kakšno je matematično ozadje te, na videz presenetljive, trditve? (Gradivo.)

Ponavadi pokažemo graf z risbo v ravnini. Prekrižno število grafa je definirano kot najmanjše število križišč v kaki risbi grafa v ravnini. Prekrižno število grafa je nič natanko tedaj, ko je ravninski. Spoznali bomo različne variante, rezultate in hipoteze prekrižnega števila grafov ter njegove uporabe v diskretni geometriji. (Gradivo.)